Rozdíly jsou co? Jak zjistit diferenciál funkce?

Spolu s deriváty funkcí jsou jejich rozdíly jedním ze základních pojmů diferenciální počet,

Počátek pojmu diferenciálu

Poprvé jasně najevo, že takové diferenciál, jednoho ze zakladatelů (spolu s Isaacem Newtonem) diferenciální Slavný německý matematik Gottfried Wilhelm Leibniz. Před tímto matematikem 17 čl. používá velmi nejasný a vágní představu o některých nekonečně „nečleněného“ jakékoliv známé funkce, což představuje velmi malou konstantní hodnotu, ale není rovna nule, pod kterou se hodnoty funkce nemůže být jednoduše. Z toho důvodu, že pouze jeden krok k zavedení pojmů nekonečně malých přírůstcích argumenty funkce a jejich příslušných krocích funkcí, které mohou být vyjádřeny v podmínkách derivátů druhé. Tento krok byl učiněn téměř současně dvěma výše uvedenými velkými vědci.

na potřebu řešit naléhavé problémy praktické mechaniky se kterými se setkávají vědy založené na rychle se rozvíjející odvětví a technologií, Newton a Leibniz vytvořil společné způsoby zjištění funkce rychlosti změny (zejména s ohledem na mechanickou rychlosti tělesa známého trajektorie), který vedl k zavedení těchto pojmů, jako derivace funkce a diferenciálu, a také zjistili, že algoritmus inverzní řešení problémů jako je samo o sobě známé (proměnné otáčky) prochází najít cestu, která vedla k pojmu integrálu ala.

Ve spisech Leibnizova a Newtona se poprvé uvědomilo, že rozdíly jsou úměrné přírůstkům argumentů Delta-x hlavní části přírůstků funkcí Delta-y, který lze úspěšně použít pro výpočet hodnot posledního. Jinými slovy, zjistili, že zvýšení funkce může být vyjádřeno v jakémkoli bodě (v rámci jeho definice) prostřednictvím jeho derivátu jako Delta-y = y `(x) Delta-x + alfa-Delta-x, kde alfa- Delta-x je zbytek, který má tendenci k nule, když Delta-x → 0, mnohem rychleji než já Delta-x.

Podle zakladatelů matanalýzy jsou diferenciály jen prvními výrazy ve výrazech pro přírůstky libovolných funkcí. Přesto, že nemáme jasně formulovaný koncept limitu sekvencí, intuitně pochopili, že hodnota diferenciálu má tendenci k derivátu funkce pro Delta-x → 0 - Delta-y / Delta-x → y `(x).

Na rozdíl od Newton, který byl v první řadě fyzik a matematický aparát považováno jako pomocný nástroj pro studium fyzikálních problémů, Leibniz věnovat více pozornosti k této výbavy, včetně systému vizuálních a srozumitelnými symboly matematických hodnot. To on navrhl standardní notaci diferenciály funkce dy = y ‚(x) dx, dx, a derivace funkce argumentu jejich vztah y‘ (x) = dy / dx.

Moderní definice

Jaký je rozdíl v podmínkách moderní matematiky? Úzce souvisí s pojmem zvýšení proměnné. Pokud proměnná y přebírá hodnotu y = y₁, a pak y = y₂, pak rozdíl y₂ ─ y₁ se nazývá přírůstek y. Přírůstek může být pozitivní. negativní a rovnající se nule. Slovo "přírůstek" označuje symbol Delta-, záznam Delta-y (čtená "hra delta") znamená přírůstek y. tak to Delta-y = y₂ ─ y₁.

Pokud je hodnota Delta-y libovolné funkce y = f (x) může být reprezentována jako Delta-y = A Delta-x + alfa-, kde A nezávisí na Delta-x, tj. A = const pro daný x, a summand alfa-at Delta-x → 0 má tendenci k tomu dokonce rychleji než já Delta-x, pak první ("hlavní") poměrný Delta-x a je rozdíl pro y = f (x), označovaný ddy nebo df (x) (čtení "de-yerk", "de eff z x"). Rozdíly jsou tedy "hlavní" lineární vzhledem k Delta-x komponenty přírůstků funkcí.

Mechanická interpretace

Nechť s = f (t) je vzdálenost lineárně se pohybující materiální bod z počáteční pozice (t je čas strávený v tranzitu). Přírůstek Delta-s je cesta bodu v časovém intervalu Delta-t a rozdíl ds = f `(t) Delta-t je cesta, kterou by bod prošel současně Delta-t, pokud si udrží rychlost f `(t) dosaženou v čase t. S nekonečně malým Delta-t imaginární cesta ds se liší od pravdivé Delta-s na nekonečnou hodnotu, mají vyšší pořadí vzhledem k Delta-t. Pokud rychlost v čase t není nula, pak ds udává přibližnou hodnotu malého posunu bodu.

Geometrická interpretace

Nechť řádek L je grafem y = f (x). Pak Delta-x = MQ, Delta-y = QM "(viz obrázek níže). Tangent MN rozděluje segment Delta-y do dvou částí, QN a NM `. První je proporcionální Delta-x a rovná se QN = MQ ∙ tg (úhel QMN) = Delta-x f `(x), tj. QN je rozdílová dy.

Druhá část je rozdíl Delta-y ─ dy, s Delta-x → 0 délka NM "klesá ještě rychleji než přírůstek argumentu, tj. Jeho pořadí menší je vyšší než pořadí Delta-x. V daném případě pro f `(x) ne- 0 (tangens není rovnoběžná s OX) QM`i QN jsou ekvivalentní segmenty jinými slovy NM ‚rychle klesá (pořadí nevelikosti jeho vyšší), než je celkový přírůstek Delta-y = QM ". To je vidět na obrázku (s přístupem M`kM, segment NM je stále menší procento segmentu QM).

Graficky tedy diferenciál libovolné funkce se rovná velikosti přírůstku souřadnice jeho tečny.

Derivát a diferenciál

Koeficient A v prvním termínu výrazu pro přírůstek funkce se rovná jeho derivátu f `(x). Tudíž platí následující vztah: dy = f (x) Delta-x nebo df (x) = f (x) Delta-x.

Je známo, že přírůstek nezávislého argumentu se rovná jeho rozdílu Delta-x = dx. Proto můžeme psát: f `(x) dx = dy.

Závěr (někdy řečeno "řešení") rozdílů je splněn stejnými pravidly jako pro deriváty. Seznam je uveden níže.

Co je univerzálnější: přírůstek argumentu nebo jeho rozdíl

Zde je třeba učinit několik vysvětlení. Význam f `(x) diferenciálu Delta-x je možný, když x je považováno za argument. Ale funkce může být složitá, v níž x může být funkcí nějakého argumentu t. Pak je zpravidla reprezentace diferenciálu výrazem f `(x) Delta-x nemožná, s výjimkou případu lineární závislosti x = at + b.

Pokud jde o vzorec f `(x) dx = dy, pak v případě nezávislého argumentu x (pak dx = Delta-x) a v případě parametrické závislosti x na t představuje rozdíl.

Například výraz 2 x Delta-x představuje pro y = x² jeho rozdíl, když x je argument. Nyní nastavíme x = t² a zvážit argument. Pak y = x² = t⁴.

Poté následuje (t + Delta-t)² = t² + 2tDelta-t + Delta-t². Odtud Delta-x = 2tDelta-t + Delta-t². Proto: 2xDelta-x = 2t² (2tDelta-t + Delta-t² ).

Tento výraz není přiměřený Delta-t a tak 2xDelta-x není rozdíl. To lze nalézt z rovnice y = x² = t⁴. Ukázalo se, že je dy = 4t³Delta-t.

Pokud vezmeme výraz 2xdx, pak to představuje rozdíl y = x² pro všechny argumenty t. Vskutku pro x = t² získáme dx = 2tDelta-t.

Proto 2xdx = 2t²2tDelta-t = 4t³Delta-t, tj. Výrazy pro diferenciály napsané dvěma různými proměnnými se shodují.

Náhradní přírůstky podle rozdílů

Pokud f `(x) ne-0, pak Delta-y a dy jsou ekvivalentní (pro Delta-x → 0) - pro f `(x) = 0 (což znamená dy = 0), nejsou ekvivalentní.

Například pokud y = x², pak Delta-y = (x + Delta-x)² ─ x²= 2xDelta-x + Delta-x², a dy = 2xDelta-x. Pokud x = 3, pak máme Delta-y = 6 Delta-x + Delta-x² a dy = 6Delta-x, které jsou ekvivalentní kvůli Delta-x²→ 0, pro x = 0, množství Delta-y = Delta-x² a dy = 0 nejsou rovnocenné.

Tento fakt společně s jednoduchou strukturou diferenciálu (tj. Lineární vzhledem k Delta-x), je často používán v přibližných výpočtech za předpokladu, že Delta asymp-dy pro malé Delta-x. Hledání diferenciálu funkce je obvykle jednodušší než výpočet přesné hodnoty přírůstku.

Máme například kovovou kostku s okrajem x = 10.00 cm. Při zahřátí se okraj protáhne Delta-x = 0,001 cm. Kolik má objem V krychle vzrůst? Máme v = x², takže dV = 3x²Delta-x = 3,10²∙ 0/01 = 3 (cm³). Zvýšení hlasitosti Delta-V je ekvivalentní diferenciálu dV, takže Delta-V = 3 cm³. Úplný výpočet by dal Delta-V = 10,01³ ─ 10³ = 3.003001. Ale v tomto výsledku je třeba všechny čísla kromě prvních nespolehlivých prostředků zatočit na 3 cm³.

Je zřejmé, že takový přístup je užitečný pouze tehdy, je-li možné odhadnout velikost chyby, která je zavedena.

Diferenciální funkce: příklady

Pokusíme se najít diferenciál funkce y = x³, nenalezl derivát. Pojďme argument argumentovat přírůstkem a definovat Delta-y.

Delta-y = ( Delta-x + x)³ ─ x³ = 3x²Delta-x + (3xDelta-x² + Delta-x³).

Zde je koeficient A = 3x² nezáleží na tom Delta-x, takže první termín je úměrný Delta-x, další člen 3xDelta-x² + Delta-x³at Delta-x → 0 klesá rychleji než přírůstek argumentu. Proto termín 3x²Delta-x je rozdíl y = x^3:

dy = 3x²Delta-x = 3x²dx nebo d (x³) = 3x²dx.

Kromě toho d (x³) / dx =3x².

Nyní najdeme dy funkce y = 1 / x z hlediska jeho derivace. Pak d (1 / x) / dx = ─ 1 / x². Proto dy = ─ Delta-x / x².

Rozdíly základních algebraických funkcí jsou uvedeny níže.

Přibližné výpočty pomocí diferenciálu

Často není obtížné vypočítat funkci f (x) a její derivát f `(x) pro x = a, ale není snadné dělat totéž v sousedství bodu x = a. Pak se k záchraně dostane přibližný výraz

f (a + Delta-x) asymp-f `(a) Delta-x + f (a).

Udává přibližnou hodnotu funkce v malých přírůstcích Delta-x přes jeho diferenciál f `(a) Delta-x.

Následně tento vzorec poskytuje přibližný výraz pro funkci v koncovém bodu úseku délky Delta-x jako součet jeho hodnoty v počátečním bodě této sekce (x = a) a diferenciálu ve stejném výchozím bodě. Chyba v tomto způsobu určení hodnoty funkce je znázorněna na obrázku níže.

Nicméně přesný výraz pro hodnotu funkce pro x = a + Delta-x, daný vzorcem konečných přírůstků (nebo jinými slovy, formula Lagrange)

f (a + Delta-x) asymp-f `(xi) Delta-x + f (a),

kde bod x = a + xi je na segmentu od x = a do x = a + Delta-x, i když jeho přesná pozice není známa. Přesný vzorec umožňuje odhadnout chybu přibližného vzorce. Pokud jsme v Lagrangeově formulaci, které jsme dali xi = Delta-x / 2, ačkoli přestává být přesná, obvykle dává mnohem lepší aproximaci než původní výraz prostřednictvím diferenciálu.

Odhad chyby vzorce pomocí diferenciálu

Měřící přístroje v zásadě nepřesné a zavádějí do údajů o měření odpovídající chyby. Ty jsou charakterizovány omezením absolutní chyba, nebo, stručněji, okrajová chyba - kladné číslo, které určitě překračuje tuto chybu v absolutní hodnotě (nebo v extrémních případech se jí rovná). The Ultimate relativní chyba tzv. kvocient jeho dělení absolutní hodnotou naměřené hodnoty.

Nechť se pro výpočet funkce y použije přesná rovnice y = f (x), ale hodnota x je výsledkem měření a proto zavádí chybu v y. Pak, abychom zjistili limitující absolutní chybu funkce │zwnj-zwnj-Delta, použijeme vzorec

│zwnj-zwnj-Delta-u│asymp-│zwnj-zwnj-dy│ = │ f ‚(x) ││Delta-h│,

kde │ Delta-x je omezující chyba argumentu. Hodnota │zwnj-zwnj-Delta-y by měla být zaokrouhlena nahoru, protože je nepřesné nahradit výpočet přírůstku výpočtem diferenciálu.