Sine, kosinus, tečna: co je to? Jak najít sinus, kosinus a tečnu?

Jednou z částí matematiky, se kterou se studenti vyrovnávají s největšími obtížemi, je trigonometrie. To není překvapující: do tohoto pole znalostí volně zvládnout, vyžaduje prostorové myšlení, schopnost najít sinus, cosinus, tangens, kotangens vzorců pro zjednodušení výrazu, aby byli schopni používat při výpočtu hodnoty Pi. Kromě toho je třeba, abyste mohli použít trigonometrii v důkazu věty a to vyžaduje buď pokročilou matematickou paměť nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.

Počátky trigonometrie

Znalost této vědy by měla začínat definicí sine, kosinem a dotykem úhlu, ale nejprve musíme pochopit, co trigonometrie obecně dělá.

Historicky hlavní předmět výzkumu v této části matematiky byl obdélníkový trojúhelník. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které umožňují stanovit hodnoty všech parametrů daného obrázku na dvou stranách a jednom rohu nebo na dvou úhlech a jedné straně. V minulosti si lidé všimli tohoto vzoru a začali ho aktivně využívat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i umění.

Počáteční fáze

Zpočátku lidé mluvili o vztahu úhlů a stran výlučně na příkladu obdélníkových trojúhelníků. Pak byly otevřeny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice použití v každodenním životě této sekce matematiky.

Studium trigonometrie ve škole začíná dnes obdélníkovými trojúhelníky, po kterých studenti využívají znalosti z fyziky a řeší abstraktní trigonometrické rovnice, jejichž práce začíná v horních třídách.

Sférická trigonometrie

Později, když věda vstoupila do další úrovně rozvoje, s vzorce sinus, cosinus, tangenty, cotangent byly použity sférické geometrie, kde existují různá pravidla, a součet úhlů v trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Tato část se neučí ve škole, ale vědět o jeho existenci, musí být minimální, neboť na zemský povrch a povrch jakékoliv jiné planety, je konvexní, a tedy jakékoliv povrchové značení bude v trojrozměrném prostoru „oblouk“.

Vezměte kouli a nit. Připojte vlákno k jakýmkoli dvěma bodům na planetě, abyste ho napnuli. Dávejte pozor - zjistil tvar oblouku. S těmito formami se používá sférická geometrie, která se používá v geodéze, astronomii a dalších teoretických a aplikovaných oborech.

Obdélníkový trojúhelník

Několik způsobů učení o použití trigonometrie, se vracíme k základnímu trigonometrie dále pochopit, co je to sinus, cosinus, tangent, některé výpočty mohou používat mohly vykonávat a jaké vzorce kde použití.

Především je třeba porozumět koncepcím spojeným s pravoúhlým trojúhelníkem. Za prvé, hypotenze je strana, která leží proti úhlu 90 stupňů. Je to nejdelší. Vzpomínáme si, že podle Pythagorovy věty je její číselná hodnota shodná s kořenem součtu čtverců ostatních dvou stran.

Například pokud jsou obě strany 3 a 4 centimetry, délka hypotenze bude 5 centimetrů. Mimochodem, starí Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.

Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, jsou nazývány katety. Kromě toho musíme mít na paměti, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadném systému je 180 stupňů.

Definice

Nakonec, pevně porozumět geometrické základně, lze se obrátit na definici sinus, kosinus a tečnu úhlu.

Sínus úhlu je poměr protilehlé nohy (tj. Strany proti požadovanému úhlu) k hypotenze. Kosinus úhlu je poměr sousední nohy k hypotenze.

Pamatujte si, že ani sinus, ani kosinus nemůže být větší než jedna! Proč? Protože hypotenze je implicitně nejdelší strana pravého trojúhelníku. Bez ohledu na to, jak dlouho je katet, bude kratší než hypotenuse, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jeden. Pokud tedy máte v odpovědi na problém sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, podívejte se na chybu ve výpočtech nebo uvažování. Tato odpověď je jednoznačně nesprávná.

Nakonec je tečkou úhlu poměr protilehlé strany k sousední straně. Stejný výsledek bude mít za následek rozdělení sinusu na kosinus. Podívejte se: podle vzorce rozdělíme délku strany hypotenou, pak rozdělíme délku druhé strany a násobíme hypotenzou. Získáme tedy stejný vztah jako v definici tečny.

Cotangent je poměr strany přiléhající k rohu k protilehlé straně. Stejný výsledek se získá dělením jednotky tečkou.

Takže jsme uvažovali o definicích toho, co je sinus, cosinus, tangent a cotangent, a můžeme se vypořádat s formulemi.

Nejjednodušší vzorce

V trigonometrii nemůžete dělat bez vzorce - jak najít sinus, cosinus, tangent, cotangent bez nich? Ale to je to, co je nutné pro řešení problémů.

První vzorec, který potřebujete vědět, když se začnete učit trigonometrii, je, že součet čtverců sinus a kosinus úhlu je jeden. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud chcete znát velikost úhlu, ne stranu.

Mnoho studentů si nemůže vzpomenout na druhý vzorec, který je také velmi populární při řešení školních problémů: součet jednotky a čtverce tangenty úhlu se rovná jednomu dělenému čtvercem kosinusu úhlu. Podívejme se blíže: je to stejné tvrzení jako v prvním vzorci, pouze dvě strany identity byly rozděleny na čtverec kosinusu. Ukazuje se, že jednoduchá matematická operace činí trigonometrický vzorec zcela nerozpoznatelným. Nezapomeňte: vědět, co je sinus, kosinus, tangent a cotangent, pravidla přeměny a několik základních vzorců, můžete kdykoli odvodit požadované složitější vzorce na listu papíru.

Dvouúhlé vzorce a doplnění argumentů

Další dvě vzorce, které se chcete naučit, souvisí s sinusovými a kosinovými hodnotami součtu a rozdílu úhlů. Jsou uvedeny na následujícím obrázku. Všimněte si, že v prvním případě se sinus a kosinus násobí oba časy a ve druhém případě se přidá párový produkt sinus a kosinus.

Existují také vzorce vztahující se k argumentům ve formě dvojitého úhlu. Oni jsou zcela odvozeni od předchozích - jako cvičení, pokuste se dostat je sami tím, že se alfa úhel rovná beta rohu.

A konečně, na vědomí, že vzorec dvojitého úhlu mohou být převedeny, aby se snížil stupeň sine, kosinu, tečná alfa.

Věty

Dvě základní teorémy v základní trigonometrii jsou sinusová věta a kosinová věta. S pomocí těchto vět, můžete snadno zjistit, jak najít sinus, cosinus a tangens, a proto je oblast na obrázku a velikost každé straně, a tak dále. D.

Sinetická věta uvádí, že v důsledku rozdělení délky každé strany trojúhelníku o část protilehlého úhlu získáme stejné číslo. Toto číslo se navíc rovná dvěma poloměrům ohraničené kružnice, tj. Kružnici obsahující všechny body daného trojúhelníku.

Věta kosinus generalizuje Pythagorovu větu a promítá ji na jakékoliv trojúhelníky. Ukazuje se, že ze součtu čtverců obou stran odečtěte jejich produkt vynásobený dvojitým kosinem sousedního úhlu - výsledná hodnota bude rovna čtverci třetí strany. Pytagorská věta se tak stane zvláštním případem kosinové věty.

Chyby nepozorností

Dokonce i vědět, co je sinus, kosinus a tečna, je snadné udělat chybu, protože rozptýlení pozornosti nebo chyby v nejjednodušších výpočtech. Abychom se vyvarovali takovým chybám, seznámíme se s nejpopulárnějšími.

Za prvé, neměli byste převádět běžné zlomky na desetinná místa, dokud nedosáhnete konečného výsledku - můžete odpověď nechat jako obyčejnou frakci, pokud podmínka nestanoví jinak. Takováto transformace nemůže být nazvána chybou, ale je třeba si uvědomit, že v každé fázi úkolu se mohou objevit nové kořeny, které by měly být podle záměru autora sníženy. V tomto případě ztratíte čas v nepotřebných matematických operacích. To platí zejména pro hodnoty, jako je kořen tří nebo dvou, protože se vyskytují v úlohách na každém kroku. Totéž se týká zaokrouhlení "ošklivých" čísel.

Dále si všimněte, že pro libovolný trojúhelník je použitelná kosinová věta, nikoliv však Pythagorovu větu! Pokud si omylně zapomenete odečíst zdvojený produkt stran vynásobený kosinem úhlu mezi nimi, dostanete nejen úplně špatný výsledek, ale také prokážete úplné nedorozumění předmětu. To je horší než chyba kvůli nepozornosti.

Za třetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sines, cosines, tečny, kotangenty. Nezapomeňte na tyto hodnoty, protože sinus je 30 stupňů rovný kosinusu 60 a naopak. Mohou se snadno zaměnit, takže se budete nevyhnutelně dopustit chyby.

Aplikace

Mnozí studenti nejsou ve spěchu, aby začali studovat trigonometrii, protože nerozumí tomu, jaký je jejich význam. Co je sinus, kosinus, tečna pro inženýra nebo astronoma? Jedná se o pojmy, kterými můžete vypočítat vzdálenost k vzdáleným hvězdám, předpovědět pádu meteoritu, poslat sondu na jinou planetu. Bez nich nemůžete stavět budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení na povrchu nebo dráhu pohybu objektu. A to jsou jen ty nejznámější příklady! Koneckonců, trigonometrie v jedné či druhé formě je používána všude, od hudby po medicínu.

Na závěr

Takže víte, co je sinus, kosinus, tečna. Můžete je použít ve výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.

Celý bod trigonometrie spočívá v tom, že neznámé parametry trojúhelníku potřebují vypočítat neznámé. Celkem jsou tyto parametry šest: délka tří stran a velikost tří úhlů. Všechny rozdíly v úkolech spočívají v tom, že jsou uvedeny různé vstupy.

Jak najít sinus, cosinus, tangens od známého délce nohou či přepona, teď to víte. Vzhledem k tomu, tyto termíny se týkají nejen poměr a poměr - je zlomek, že hlavním účelem goniometrické problém se stává nalezení normální rovnice nebo kořeny rovnic. A zde vám pomůže běžná matematická škola.