Jak zjistit a vytvořit graf funkce?

Dnes doporučujeme společně s námi prozkoumat a sestavit funkční graf. Po pečlivém studiu tohoto článku se už dlouho nemusíte potnout, abyste dosáhli tohoto druhu úkolu. Není snadné zkoumat a sestavit funkční graf, práce je objemná, vyžaduje si maximální pozornost a přesnost výpočtů. Pro usnadnění vnímání materiálu budeme postupně studovat tutéž funkci, vysvětlíme všechny naše činnosti a výpočty. Vítejte v nádherném a fascinujícím světě matematiky! Pojďme!

Doména definice

Pro zkoumání a sestavení funkčního grafu je třeba znát několik definic. Tato funkce je jedním ze základních (základních) pojmů v matematice. Odráží vztah mezi několika proměnnými (dva, tři nebo více) se změnami. Funkce také ukazuje závislost sady.

Představte si, že máme dvě proměnné, které mají určitý rozsah změn. Takže y je funkce x, za předpokladu, že každé hodnotě druhé proměnné odpovídá jedné hodnotě druhé. Navíc je proměnná y závislá a nazývá se funkcí. Je obvyklé říkat, že proměnné x a y jsou v funkční závislost. Pro větší jasnost této závislosti je sestaven graf funkce. Co je graf funkcí? Toto je množina bodů na rovině souřadnic, kde každá hodnota x odpovídá jedné hodnotě y. Grafy mohou být různé - přímka, hyperbola, parabola, sinusoid a tak dále.

Graf funkce nemůže být sestaven bez šetření. Dnes se naučíme provést studii a sestavit funkční graf. Je to velmi důležité koordinovat rovinu dělat poznámky. Abyste se s úkolem vyrovnali, bude mnohem jednodušší. Nejpohodlnější studijní plán:

1. Rozsah definice.
2. Kontinuita.
3. Parita nebo zvláštnost.
4. Periodicita.
5. Asymptoty.
6. Nula.
7. Znamení stálosti.
8. Vzestupně a sestupně.
9. Extrémy.
10. Konvexnost a konkávnost.

Začněme prvním odstavcem. Najdeme doménu definice, tj. V jakých intervalech existuje naše funkce: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). V našem případě existuje funkce pro všechny hodnoty x, to znamená, že doména definice je R. Může být napsána následovně xVR.

Kontinuita

Teď budeme zkoumat funkci pro přestávku. V matematice se termín "kontinuita" objevil jako výsledek studia zákonů pohybu. Co je nekonečné? Prostor, čas, některé funkce (například, může sloužit jako závislé proměnné s a t v pohybu úkolů), teplota ohřívaného předmětu (voda, smažení, teploměrem, a tak dále) je kontinuální linie (tj. Takový, který lze čerpat bez zvedání z listu tužka).

Graf je považován za spojitý, který se v určitém okamžiku nerozlomí. Jedním z nejznámějších příkladů tohoto grafu je sinusoid, který můžete vidět na obrázku v této části. Funkce je kontinuální v nějakém bodě x0, pokud jsou splněny některé podmínky:

• funkce je definována v daném bodě;
• pravá a levá hranice v bodě jsou stejné;
• Limit se rovná hodnotě funkce v bodě x0.

Pokud není splněna jedna z podmínek, říkají, že funkce trpí přerušením. A body, ve kterých je funkce přerušena, je obvyklé volat body nespojitosti. Příklad funkce, která je v grafickém znázornění rozdělena, může být: y = (x + 4) / (x-3). Navíc y neexistuje v bodě x = 3 (protože není možné rozdělit nulou).

Ve funkci, kterou zkoumáme (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) se vše ukázalo být jednoduché, protože graf bude spojitý.

Parita, zvláštnost

Nyní zkontrolujte funkci pro paritu. Začněte malou teorii. Vyzývá se rovnoměrná funkce, která splňuje podmínku f (-x) = f (x) pro libovolnou hodnotu x (z rozsahu hodnot). Příklady jsou:

• modul x (graf je podobný grafu, bisektor prvního a druhého čtvrtletí grafu);
• x ve čtverci (parabola);
• kosinus x (kosinus).

Všimněte si, že všechny tyto grafy jsou symetrické, pokud to vezmeme v úvahu vzhledem k ose y (tj. Y).

A co se pak nazývá lichou funkcí? Jedná se o ty funkce, které splňují podmínku: f (-x) = -f (x) pro libovolnou hodnotu x. Příklady:

• hyperbola;
• kubická parabola;
• sinusová vlna;
• tangentoid a tak dále.

Všimněte si, že tyto funkce mají symetrii o bodě (0: 0), tj. O původu. V návaznosti na to, co bylo řečeno v této části článku, musí mít vlastnost rovnou a lichou funkci: x patří do definice a -x.

Vyšetřme funkci podle parity. Vidíme, že to neodpovídá žádnému popisu. V důsledku toho naše funkce není ani sudá ani lichá.

Asymptoty

Začněme definicí. Asymptote je křivka, která je co nejblíže grafu, tj. Vzdálenost od nějakého bodu má tendenci k nule. Existují tři typy asymptotů:

• Vertikální, tj. Rovnoběžná s osou y;
• Horizontální, tj. Rovnoběžná s osou x;
• nakloněné.

Co se týče prvního druhu, je třeba hledat tyto přímé linie v některých bodech:

• mezera;
• konce domény definice.

V našem případě je funkce spojitá a doména definice je R. Proto nejsou žádné vertikální asymptoty.

Vodorovná asymptota mít grafickou funkci, která splňuje následující požadavky: když se x blíží nekonečnu nebo záporné nekonečno, a limit je roven určitý počet (např., A). V tomto případě je y = a - toto je horizontální asymptota. Ve funkci, kterou zkoumáme, nejsou žádné horizontální asymptoty.

Skloněná asymptota existuje pouze tehdy, jsou-li splněny dvě podmínky:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Pak jej lze nalézt pomocí vzorce: y = kx + b. Opět v našem případě neexistují šikmé asymptoty.

Funkce nuly

Dalším krokem je prozkoumání grafu funkce nulami. Je důležité si uvědomit, že tento úkol spojený s hledáním nuly této funkce se vyskytuje nejen ve studiu a konstrukci grafu funkce, ale také jako samostatný úkol, a jako způsob, jak řešit nerovnosti. Možná budete muset najít nuly na grafu nebo použít matematický záznam.

Hledání těchto hodnot vám pomůže vytvořit přesnější graf funkce. V jednoduchém jazyce je nula funkce hodnota proměnné x, pro kterou y = 0. Pokud hledáte nulu funkce na grafu, měli byste věnovat pozornost bodům, kde dochází k průsečíku grafu s osou úsečky.

Chcete-li najít nuly funkce, je třeba vyřešit následující rovnici: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Po provedení potřebných výpočtů získáme následující odpověď:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Doporučuje se okamžitě označit nalezené body na grafu.

Znamení stálosti

Další etapou výzkumu a konstrukce funkce (grafu) je zjištění intervalů sign-konstanta. To znamená, že musíme určit, v jakých intervalech má funkce pozitivní hodnotu a na které - negativní. To nám pomůže učinit nuly uvedené v poslední části. Takže musíme vytvořit přímku (odděleně od grafu) a ve správném pořadí distribuovat nuly funkce z menšího na větší. Nyní musíme určit, které z přijatých intervalů má znaménko "+" a které ";".

V našem případě má funkce v intervalech kladnou hodnotu:

• od 1 do 4;
• od 9 do nekonečna.

Záporná hodnota:

• od mínus nekonečno k 1;
• od 4 do 9.

To je snadné definovat. Nahraďte libovolné číslo z mezery do funkce a podívejte se, na který znak odpověď byla (mínus nebo plus).

Zvýšení a snížení funkce

Abychom zkoumali a postavili funkci, musíme vědět, kde graf bude růst (nahoru nahoru) koordinovat linku Oy) a tam, kde padne (creep po osy osy).

Funkce roste pouze tehdy, když větší hodnota proměnné x odpovídá větší hodnotě y. To znamená, že x2 je větší než x1 a f (x2) je větší než f (x1). A reverzní efekt je pozorován při klesající funkci (čím více x, tím méně y). K určení intervalů nárůstu a poklesu je nutné nalézt následující:

• doména definice (již máme);
• derivát (v našem případě: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• vyřešit rovnici 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Po výpočtech získáme výsledek:

• 7/3;
• 7.

Získáváme: funkce se zvyšuje v intervalech od mínus nekonečno na 7/3 a od 7 do nekonečna a snižuje v intervalu od 7/3 do 7.

Extrémy

Funkce y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) je spojitá a existuje pro libovolné hodnoty proměnné x. Extrémní bod zobrazuje maximální a minimální hodnotu této funkce. V našem případě neexistují žádné, což výrazně zjednodušuje konstrukční problém. Jinak extremum body jsou také nalezeny pomocí odvozené funkce. Po zjištění nezapomeňte je označit na grafu.

Konvexnost a konkávnost

Pokračujeme v prozkoumání funkce y (x). Teď ji musíme otestovat pro konvexnost a konkávnost. Definice těchto pojmů jsou těžké, je lepší analyzovat vše podle příkladů. Pro test: funkce je konvexní, pokud je neurčitý integrál neredukující funkce. Souhlasíte, toto není jasné!

Musíme najít derivát funkce druhého řádu. Získáváme: y = 1/3 (6x-28). Nyní srovnáváme pravou stranu na nulu a vyřešíme rovnici. Odpověď je: x = 14/3. Našli jsme inflexní bod, tedy místo, kde graf změní konvexnost na konkávnost nebo naopak. V intervalu od mínus nekonečno do 14/3 je funkce konvexní a od 14/3 do nekonečna plus - konkávní. Je velmi důležité poznamenat, že bod nafouknutí na grafu by měl být hladký a měkký, bez ostrých úhlů.

Definice dalších bodů

Naším úkolem je vyšetřit a sestavit funkční graf. Dokončili jsme studii, nebudeme schopni vytvořit graf funkce nyní. Pro přesnější a podrobnější reprodukci křivky nebo přímky na rovině souřadnic najdete několik pomocných bodů. Je poměrně snadné je vypočítat. Například, vezmeme x = 3, vyřešíme výslednou rovnici a najdeme y = 4. Nebo x = 5 a y = -5 a tak dále. Další body si můžete vzít tak, jak potřebujete. Zjistí se alespoň 3 - 5 z nich.

Kreslení grafu

Potřebovali jsme zkoumat funkci (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Všechny potřebné poznámky během výpočtů byly vyneseny na rovinu souřadnic. Vše, co je třeba udělat, je vytvořit graf, tj. Připojit všechny body dohromady. Chcete-li spojit body bodů hladce a přesně, je to otázka dovednosti - trochu praxe a váš plán bude dokonalý.