Matematické očekávání a rozptyl náhodné proměnné

Teorie pravděpodobnosti je speciální obor matematiky, který je studován pouze studenty vysokých škol. Líbí se vám výpočty a vzorce? Nebojte se prozkoumat možnosti pro normální rozdělení, entropie souboru znamenají a rozptyl diskrétní náhodné veličiny? Pak bude pro vás téma velmi zajímavé. Seznámíme se s několika důležitými základními pojmy této vědy.

Připomeňme si základy

Dokonce i když si pamatujete nejjednodušší koncepty teorie pravděpodobnosti, nezapomínejte na první odstavce článku. Faktem je, že bez jasného pochopení základů nemůžete pracovat s níže uvedenými formulemi.

Takže existuje nějaká náhodná událost, experiment. V důsledku opatření, které učiníme, můžeme získat několik výsledků - některé z nich se vyskytují častěji, jiné - méně často. Pravděpodobnost události je poměr počtu skutečně získaných výsledků jednoho typu k celkovému počtu možných výsledků. Pouze poznáte klasickou definici tohoto pojetí, můžete začít studovat matematické očekávání a rozptyl souvislých náhodných proměnných.

Aritmetický průměr

Ve škole ve třídě matematiky jste začali pracovat s průměrnou aritmetikou. Tento pojem je široce používán v teorii pravděpodobnosti, a proto nemůže být ignorován. Hlavním důvodem pro nás je, že se s ním setkáme ve vzorcích matematických očekávání a rozptylu náhodné proměnné.

Máme řadu čísel a chceme najít aritmetický průměr. Vše, co se od nás požaduje, je shrnout vše, co je k dispozici a rozdělit podle počtu prvků v pořadí. Mějme čísla od 1 do 9. Součet prvků bude 45 a tuto hodnotu rozdělíme na 9. Odpověď: - 5.

Disperze

Vědecky řečeno, rozptyl je střední čtvercová odchylka získaných hodnot charakteristiky od aritmetického průměru. Je označeno jedním velkým písmenem D. Co potřebujete k výpočtu? Pro každý prvek sekvence vypočítáme rozdíl mezi stávajícím číslem a aritmetickým průměrem a čtvercem. Hodnoty budou přesně tolik, kolik by mohlo být dosaženo v případě, že uvažujeme. Dále shrneme všechny výsledky a rozdělíme podle počtu prvků v pořadí. Máme-li pět možných výsledků, rozdělíme pět.

Disperze má vlastnosti, které je třeba pamatovat při řešení problémů. Například, protože náhodná proměnná se zvyšuje o faktor X, variace se kvadraticky zvyšuje v X (tj. X * X). Není nikdy menší než nula a nezávisí na posunu hodnot stejnou hodnotou ve větší či menší míře. Navíc pro nezávislé zkoušky se odchylka součtu rovná součtu odchylek.

Teď musíme zvážit příklady rozptylu diskrétní náhodné proměnné a matematické očekávání.

Předpokládejme, že jsme provedli 21 experimentů a získali 7 různých výsledků. Každý z nich jsme pozorovali 1,2,2,3,4,4 a 5krát. Jaká je odchylka?

Nejprve se vypočte aritmetický průměr: součtu prvků, samozřejmě, že se rovná 21. předělu 7 a získá se 3. Nyní každý z původní sekvence číslo odečíst 3, každý čtverec hodnotu a přidejte výsledky dohromady. Získat 12. Nyní musíme rozdělit číslo počtem prvků a zdánlivě všechno. Ale je tu chytit! Promluvme si o tom.

Závislost na počtu pokusů

Ukazuje se, že při výpočtu rozptylu v jmenovateli může jedno ze dvou čísel zůstat: buď N, nebo N-1. Zde N je počet provedených experimentů nebo počet prvků v sekvenci (což je v podstatě stejná věc). Na čem to závisí?

Pokud je počet testů měřen ve stovkách, pak musíme zadat jmenovatele N. Pokud jednotky, pak N-1. Hraniční vědci rozhodla provést dostatečně symbolický: dnes přechází na obrázku 30. V případě, že experimenty jsme provedli menší než 30, pak rozdělit součet bude na N-1, a je-li více - pak N.

Cíl

Vraťme se k našemu příkladu řešení problému rozptylu a matematických očekávání. Získali jsme předběžné číslo 12, které bylo nutné rozdělit na N nebo N-1. Protože jsme provedli experimenty 21, což je méně než 30, zvolíme druhou možnost. Takže odpověď je: rozptyl je 12/2 = 2.

Matematické očekávání

Pojďme k druhému pojetí, které musíme tento článek zvážit. Očekávání je výsledkem shrnutí všech možných výsledků vynásobených odpovídajícími pravděpodobnostmi. Je důležité si uvědomit, že hodnota získaná jako výsledek výpočtu rozptylu, to dopadá pouze jednou pro celý problém, bez ohledu na to, kolik výstupů nebylo považováno.

Vzorec očekávání je poměrně jednoduchý: vezměte výsledek vynásobený jeho pravděpodobnost, přidáme stejné pro druhou, třetí, výsledek, atd. Vše co souvisí s tímto konceptem, která se počítá jednoduše ... Například součet očekávané hodnoty se rovná součtu očekávaného přínosu. Pro práci je to stejné. Takové jednoduché ovládání umožňuje provádět daleko každou hodnotu pravděpodobnosti. Vezměme si tento problém a vypočítat hodnotu dvou konceptů jsme studovali. Kromě toho jsme přesměrovány na teorii - je čas na praxi.

Dalším příkladem

Provedli jsme 50 testů a získali jsme 10 druhů výsledků - čísel od 0 do 9 - které se objevují v různém procentu. To, respektive 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Připomeňme, že pro hodnoty pravděpodobnosti, které mají být rozděleny v procentech 100. Tak získáme 0,1 0.02- atd. Pro rozptyl náhodných proměnných a matematických očekávání reprezentujeme příklad řešení problému.

Vypočítáme aritmetický průměr vzorem, který si pamatujeme z juniorské školy: 50/10 = 5.

Nyní přeložit pravděpodobnost v počtu výstupů „na kusy“, aby bylo snadnější počítat. Získáme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 a 9. Každá získaná hodnota odečíst aritmetický průměr, a pak každý ze získaných výsledků je čtvercový. Podívejte se, jak to provést, například, první člen 1-5 = (-4). Další: (-4) * (4) = 16. Pro jiné hodnoty, provádět tyto operace nezávisle na sobě. Pokud jste udělali všechno v pořádku, pak po přidání všech průběžné výsledky dostanete 90.

Pokračujeme ve výpočtu rozptylu a matematického očekávání, dělíme 90 na N. Proč vybereme N, ne N-1? Je to správné, protože počet provedených experimentů přesahuje 30. Takže: 90/9 = 10. Dostali jsme rozptýlení. Pokud máte jiné číslo, nezoufejte. S největší pravděpodobností jste ve výpočtech udělali banální chybu. Znovu zkontrolujte, co bylo napsáno, a určitě bude vše na místě.

Konečně, připomeňme vzorec matematických očekávání. Neuděláme všechny výpočty, budeme psát pouze odpověď, s níž můžete konzultovat, po dokončení všech požadovaných postupů. Očekává se 5,48. Budeme pouze připomínat, jak provádět operace na příkladu prvních prvků: 0 * 0.02 + 1 * 0.1hellip - a tak dále. Jak vidíte, jednoduše vynásobíme hodnotu výsledku svou pravděpodobností.

Odchylka

Dalším konceptem úzce souvisejícím s rozptylem a matematickým očekáváním je střední kvadratická odchylka. Označuje se buď latinskými písmeny sd, nebo řeckými písmeny "sigma". Tento koncept ukazuje, kolik se hodnoty v průměru odchylují od centrální funkce. Chcete-li zjistit jeho hodnotu, musíte vypočítat druhou odmocninu rozptylu.

Pokud vytvoříte běžný rozvrh distribuce a chcete jej vidět přímo na něm průměr kvadratická odchylka, to může být provedeno v několika fázích. Pak polovina obrazu vlevo nebo vpravo z režimů (střední hodnota), je kolmá k vodorovné ose, takže výsledné čtvercové tvary byly stejné. Hodnota segmentu mezi prostředím distribuce a výslednou projekcí na horizontální ose bude střední kvadratická odchylka.

Software

Jak je zřejmé z popisu vzorců a předložených příkladů, výpočty rozptylu a matematické očekávání nejsou z aritmetického hlediska nejjednodušší postup. Abychom neztráceli čas, má smysl používat program používaný ve vysokoškolských institucích - nazývá se "R". Má funkce, které umožňují vypočítat hodnoty pro mnoho pojmů ze statistiky a teorie pravděpodobnosti.

Například zadáte vektor hodnot. To se provádí takto: vektor <-c (1.5.2hellip). Nyní, když potřebujete vypočítat libovolné hodnoty pro tento vektor, zapište funkci a nastavte ji jako argument. Chcete-li najít rozptyl, musíte použít funkci var. Příklad jeho použití: var (vektor). Pak stačí stisknout "vstup" a získat výsledek.

Na závěr

Disperze a matematické očekávání jsou základní pojmy teorie pravděpodobnosti, bez kterého je obtížné do budoucna počítat nic. Obecně průběh přednášek na univerzitách, které jsou považovány za již v prvních měsících studia předmětu. Je to z důvodu nedostatku porozumění těchto jednoduchých konceptů a jejich neschopnost vypočítat mnozí studenti začínají zaostávat na programu hned a později dostávat špatné známky na základě výsledků jednání, které je zbavuje jejich stipendií.

Cvičit nejméně jeden týden po dobu půl hodiny denně, řešit úkoly podobné těm uvedeným v tomto článku. Pak na jakémkoli testu v teorii pravděpodobnosti se můžete vyrovnat s příklady bez cizích stop a podváděcích listů.