Přidání a násobení pravděpodobnosti: příklady řešení a teorie

Studium teorie pravděpodobnosti začíná řešením problémů při přidávání a násobení pravděpodobností. Stojí za zmínku, jakmile tohoto studenta při vývoji této oblasti znalostí mohou čelit nějaký problém: v případě, že fyzikální nebo chemické procesy mohou být reprezentovány vizuálně a chápat empiricky, úroveň matematické abstrakce je velmi vysoká, a porozumění přichází pouze s praxí.

Nicméně, je to stojí za to, protože vzorec - jak je popsáno v tomto článku, a složitější - dnes se používají všude tam, a to může být užitečné v jejich práci.

Původ

Podivuhodně byl podnět k vývoji této sekce matematiky spočítán. Ve skutečnosti jsou typické příklady, při kterých se používají sčítání a násobení pravděpodobností, skládání na mince, pokládání mincí, poker, ruleta. Na příkladu úkolů v každé učebnici je to jasně vidět. Lidé měli zájem se naučit, jak zvýšit své šance na výhru, a musím říct, že se nám to podařilo.

Například ve století XXI, muž, jehož jméno nebude zveřejněna, jsme použili nahromaděné znalosti staletí doslova „vyčistit“ kasino vítězný rulety desítky milionů dolarů.

Nicméně, navzdory zvýšenému zájmu o předmět, teprve v dvacátém století vznikl teoretický rámec, který činil "theeor" plnohodnotným součást matematiky. Dnes, prakticky v jakékoli vědě, najdete výpočty, které používají pravděpodobnostní metody.

Použitelnost

Důležitým bodem použití přidání a násobení pravděpodobností je podmíněná pravděpodobnost proveditelnosti centrální mezní věty. V opačném případě, ačkoli student nemusí být realizován, budou všechny výpočty, ať už se mohou zdát věrohodné, budou nesprávné.

Ano, velmi motivovaný student je v pokušení využít nové znalosti při každé příležitosti. Ale v tomto případě byste měli zpomalit několik a striktně vymezit rozsah použitelnosti.

Teorie pravděpodobnosti se zabývá náhodné události, které jsou empiricky představují výsledky pokusů, které můžeme kostky s šesti stranách, vytáhněte kartu z balíčku, předvídat počet vadných dílů ve straně. Nicméně v některých otázkách je absolutně nemožné používat vzorce z této sekce matematiky. Vlastnosti zvažování pravděpodobnosti události, doplnění a množení událostí, diskutujeme na konci článku, ale prozatím se podívejme na příklady.

Základní pojmy

Náhodná událost je proces nebo výsledek, který se může nebo nemusí objevit jako výsledek experimentu. Například jsme hodili sendvič - může spadnout s olejem nahoru nebo máslem dolů. Kterýkoli ze dvou výsledků bude náhodný a předem nevíme, který z nich bude probíhat.

Při studiu přidání a násobení pravděpodobností potřebujeme ještě dvě koncepce.

Společně nazývají takové události, jejichž vzhled nevylučuje vzhled jiného. Například dvě osoby střílí ve stejnou dobu na cíl. Pokud jeden z nich udělá úspěšný výstřel, nemá vliv na schopnost družiny dostat se do "oka býka" nebo chybí.

Nekompatibilní budou takové události, jejichž vzhled je současně nemožný. Například vytažením jediného míče z krabice nemůžete najednou získat modrou i červenou barvu.

Označení

Pojem pravděpodobnosti je označen latinským velkým písmenem P. Dále v závorkách jsou argumenty označující některé události.

Ve vzorcích přídavné věty, podmíněné pravděpodobnosti, násobící věty, uvidíte výrazy v závorkách, například: A + B, AB nebo A | B. Budou se vypočítávat různými způsoby, nyní se k nim obrátíme.

Přidání

Podívejme se na případy, kdy se používají vzorce přidání a násobení pravděpodobností.

Pro exkluzivní události relevantní nejjednodušším adiční vzorce: pravděpodobnost, že jakékoliv náhodné výsledků se bude rovnat součtu pravděpodobnosti každého z těchto výsledků.

Předpokládejme, že je krabice se 2 modrými, 3 červenými a 5 žlutými kuličkami. Celkem v poli je 10 položek. Jaký je podíl pravdy prohlášení, že vyneseme modrou nebo červenou kouli? Bude se rovnat 2/10 + 3/10, tedy padesát procent.

V případě nekompatibilních událostí se vzorec stává komplikovanějším, jelikož je přidán další termín. Vraťme se k němu v jednom odstavci po zvážení jiného vzorce.

Násobení

Přidání a násobení pravděpodobnosti nezávislých událostí se používá v různých případech. Je-li podmínkou experimentu spokojen s některým z obou možných výsledků, vypočítáme součet, jestliže chceme dosáhnout dvou jistých výsledků za sebou, uchýlíme se k použití jiného vzorce.

Vrátit se k příkladu z předchozí části, chceme nejprve vytáhnout modrou kouli a pak červenou. První číslo, které známe, je 2/10. Co se stane dál? Sharov zůstává 9, červené mezi nimi stejně - tři kusy. Podle výpočtů to bude 3/9 nebo 1/3. Ale co teď děláte s dvěma čísly? Správnou odpovědí je vynásobit ji za 2/30.

Společné akce

Nyní se můžete vrátit k součtovému vzorce pro společné události. Proč jsme se z tohoto tématu odvrátili? Chcete-li zjistit, jak se násobí pravděpodobnost. Nyní jsou tyto znalosti užitečné pro nás.

Už víme, jaké budou první dva termíny (jsou stejné jako ve formulaci doplnění, který byl zvažován dříve), nyní musíme odečíst produkt pravděpodobností, který jsme se právě naučili vypočítat. Pro jasnost napište vzorec: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Ukazuje se, že v jednom výrazu se používá jak sčítání, tak násobení pravděpodobností.

Řekněme, že musíme vyřešit jakýkoli ze dvou úkolů, abychom získali kredit. První možnost můžeme vyřešit s pravděpodobností 0,3 a druhou s 0,6. Roztok: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Všimněte si, že pouze přidání čísel zde nestačí.

Podmíněná pravděpodobnost

Konečně existuje koncept podmíněné pravděpodobnosti, jejíž argumenty jsou označeny v závorkách a odděleny vertikální čárou. Záznam P (A | B) se čte takto: "pravděpodobnost události A za podmínky události B".

Uvidíme příklad: přítel vám dává nějaké zařízení, ať je telefon. Může být zlomený (20%) nebo vadný (80%). Jakékoliv zařízení, které máte ve vašich rukou, můžete opravit s pravděpodobností 0,4 nebo ne. (0,6). Nakonec, pokud je zařízení v provozním stavu, můžete dosáhnout správné osoby s pravděpodobností 0,7.

Je snadné vidět, jak se v tomto případě projevuje podmíněná pravděpodobnost: nemůžete se dostat k osobě, pokud je telefon zlomený, a pokud funguje, nemusíte jej opravovat. Chcete-li získat výsledky na "druhé úrovni", musíte zjistit, která událost se stala na první úrovni.

Výpočty

Zvažte příklady řešení problémů při přidávání a násobení pravděpodobnosti pomocí údajů z předchozího odstavce.

Za prvé, zjistíme pravděpodobnost, že opravíte zařízení, které vám bylo dáno. Za prvé to musí být vadné, a za druhé, musíte se vyrovnat s opravou. Jedná se o typický problém s násobením: dostaneme 0,2 * 0,4 = 0,08.

Jaká je pravděpodobnost, že se okamžitě dostanete ke správné osobě? Jednodušší než jednoduché: 0,8 * 0,7 = 0,56. V tomto případě jste zjistili, že telefon pracuje a úspěšně uskutečnil hovor.

Konečně zvažte tuto možnost: máte zlomený telefon, fixujete ho, vytočíte číslo a osoba na opačném konci zvedla telefon. Zde je zapotřebí násobení třech složek: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

A co když máte dva nepracující telefony? Jak je pravděpodobné, že opravíš alespoň jednu z nich? To je úkol o přidání a násobení pravděpodobnosti, protože se používají společné události. Roztok: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Takže pokud máte v rukách dvě zlomená zařízení, vyřídíte opravu v 64% případů.

Pečlivé použití

Jak bylo uvedeno na začátku článku, použití teorie pravděpodobnosti by mělo být záměrné a vědomé.

Čím větší je řada experimentů, tím bližší teoreticky předpověděná hodnota přiblíží tomu, co bylo v praxi dosaženo. Například hodíme minci. V teorii, protože věděl o existenci pravděpodobnosti sčítání a násobení vzorců, můžeme předpovědět, kolik času bude padat „orel“ a „ocasy“ Pokud se experiment 10krát. Provedli jsme experiment, a shodou okolností poměr snížil strany měly 3 až 7. Nicméně, pokud se zdá, řada 100, 1000 nebo více pokusů, že bodový graf všech přibližuje teoretické: 44-56, 482-518, a tak dále.

A teď si představte, že experiment se provádí ne mince a produkci některých nejnovějších chemické pravděpodobností z nichž nevíme. Bylo by provedeno 10 experimentů a bez úspěchu bychom mohli shrnout: "není možné získat látku". Ale kdo ví, kdybychom učinili jedenáctý pokus, dosáhli bychom cíl nebo ne?

Pokud tedy odkazujete na neznámé, do neprobádané oblasti, teorie pravděpodobnosti nemusí být použitelná. Každý následný pokus v tomto případě může být úspěšný a zobecnění typu "X neexistuje" nebo "X není možné" bude předčasné.

Závěrečné poznámky

Takže jsme uvažovali o dvou typech sčítání, násobení a podmíněných pravděpodobnostech. Při dalším studiu této oblasti je třeba se naučit rozlišovat situace, kdy se použije každý konkrétní vzorec. Navíc je třeba si představit, zda pravděpodobnostní metody jsou obecně použitelné při řešení problému.

Pokud cvičíte, pak po chvíli začnete provádět všechny požadované operace výhradně ve vaší mysli. Pro ty, kteří mají rádi karetní hry, tato dovednost lze považovat za velmi cenný - můžete výrazně zvýšit své šance na výhru, jen počítat pravděpodobnost získání konkrétní kartu nebo oblek. Získané poznatky však můžete snadno najít v jiných oblastech činnosti.