Základní pojetí teorie pravděpodobnosti. Zákony teorie pravděpodobnosti

Mnozí, konfrontováni s pojmem "teorie pravděpodobnosti", se bojí, myslí si, že je to něco nad rámec kapacity, velmi obtížné. Ale všechno není tak tragické. Dnes budeme zvažovat základní pojetí teorie pravděpodobnosti, naučíme se řešit problémy na konkrétních příkladech.

Věda

Co je studium této oblasti matematiky jako "teorie pravděpodobnosti"? Poznamenává vzory náhodné události a množství. Poprvé vědci, kteří se o tomto problému zajímali v osmnáctém století, když studovali hazardní hry. Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je událost. To je každá skutečnost zjištěná zkušeností nebo pozorováním. Ale co je zkušenost? Další základní pojetí teorie pravděpodobnosti. To znamená, že tento soubor okolností není vytvořen náhodou, ale se specifickým účelem. Pokud jde o pozorování, pak se výzkumník sám nepodílí na zkušenosti, ale jednoduše je svědkem těchto událostí, nemá vůbec žádný vliv.

Události

Naučili jsme se, že základním pojmem teorie pravděpodobnosti je událost, ale klasifikaci nezohlednila. Všechny z nich spadají do následujících kategorií:

• Věrohodné.
• Nemožné.
• Náhodně.

Bez ohledu na to, jaké události jsou pozorovány nebo vytvořeny během experimentu, všichni podléhají této klasifikaci. Navrhujeme seznámit se s každým druhem zvlášť.

Spolehlivá událost

To je taková okolnost, před kterou je proveden potřebný komplex opatření. Abychom lépe pochopili podstatu, je lepší dát pár příkladů. Tento zákon je předmětem fyziky, chemie, ekonomie a vyšší matematiky. Teorie pravděpodobnosti zahrnuje tak důležitou koncepci jako spolehlivou událost. Uveďte několik příkladů:

• Pracujeme a dostáváme odměnu ve formě mzdy.
• Prošel úspěšně zkoušky, složil soutěž, za který obdržíme poplatek ve formě přijetí do vzdělávací instituce.
• Do banky jsme investovali peníze, v případě potřeby je vrátíme zpět.

Takové události jsou spolehlivé. Pokud jsme splnili všechny nezbytné podmínky, pak určitě dosáhnete očekávaného výsledku.

Nemožné události

Nyní zvažujeme prvky teorie pravděpodobnosti. Navrhujeme přistoupit k vysvětlení následujícího typu události, totiž nemožného. Za prvé, hovoříme o nejdůležitějším pravidle - pravděpodobnost nemožné události je nulová.

Z této formulace nemůžete při řešení problémů ustoupit. K vysvětlení uvádíme příklady takových událostí:

• Voda zmrzla při teplotě plus deset (to je nemožné).
• Neprítomnost elektřiny nijak neovlivňuje výrobu (je to stejně nemožné jako v předchozím příkladu).

Další příklady by neměly být uvedeny, jak je popsáno výše, velmi jasně odráží podstatu této kategorie. V průběhu experimentu se za žádných okolností nikdy nestane.

Náhodné události

Studium prvků teorie pravděpodobnosti by mělo věnovat zvláštní pozornost tomuto typu události. Jsou to ti, kteří tuto vědu studují. Jako výsledek zkušenosti se něco může stát nebo ne. Kromě toho může být test proveden neomezeně. Silnými příklady jsou:

• Odhodit mince je zkušenost, nebo test, orla je událost.
• Zatahání míče z vaku slepě - test, červená koule byla chycena - tato událost a tak dále.

Takové příklady mohou být neomezené, ale obecně by měla být jasná. Chcete-li shrnout a systematizovat poznatky získané o událostech, uveďte tabulku. Teorie pravděpodobnosti zkoumá pouze poslední typ všech prezentovaných.

Zákony

Teorie pravděpodobnosti je věda, která zkoumá možnost odchodu z události. Stejně jako ostatní mají nějaká pravidla. Existují následující zákony teorie pravděpodobnosti:

• Konvergence sekvencí náhodných proměnných.
• Zákon velkých čísel.

Při výpočtu možnosti složitého lze použít komplex jednoduchých událostí pro dosažení výsledku snadnějším a rychlejším způsobem. Poznamenáváme, že zákony teorie pravděpodobnosti jsou snadno prokázány pomocí určitých vět. Nejprve doporučujeme seznámit se s prvním zákonem.

Konvergence sekvencí náhodných proměnných

Mějte na paměti, že existuje několik druhů konvergence:

• Sekvence náhodných proměnných je pravděpodobnost konvergence.
• Téměř nemožné.
• Střední konvergence.
• Konvergence v distribuci.

Takže za letu je velmi obtížné se dostat k věci. Zde jsou definice, které vám pomohou pochopit toto téma. Chcete-li spustit první zobrazení. Sekvence se nazývá konvergentní pravděpodobnost, pokud je splněna následující podmínka: n má tendenci k nekonečnu, číslo, ke kterému má sekvence tendenci, je větší než nula a je blízko k jednotě.

Pokračujeme k dalšímu formuláři, téměř jistě. Říká se, že sekvence konverguje téměř jistě na náhodnou proměnnou v n, s tendencí k nekonečnu a P k hodnotě blízké jednotě.

Další typ je konvergence znamená čtverec. Při použití SC-konvergence se studie náhodných vektorových procesů snižuje na studium jejich koordinovaných náhodných procesů.

Poslední typ zůstává, podívejme se na to a jděte přímo na řešení problémů. Konvergence v distribuci má jiné jméno - "slabé", dále vysvětluje proč. Slabá konvergence Je konvergence distribučních funkcí ve všech bodech kontinuity omezující distribuční funkce.

Ujistěte se, že splníte slib: slabá konvergence se liší od všech výše uvedených v tom, že náhodná proměnná není definována na pravděpodobném prostoru. To je možné, protože podmínka je tvořena výlučně pomocí distribučních funkcí.

Zákon velkých čísel

Vynikající teoretici v důkazu tohoto zákona budou teorami teorie pravděpodobnosti, jako jsou:

• Chebyševova nerovnost.
• Chebyševova věta.
• Generalizovaná Chebyshevova věta.
• Markova věta.

Pokud vezmeme v úvahu všechna tato teorema, může být tato otázka odložena několika desítkami listů. V naší zemi je hlavním úkolem uplatnění teorie pravděpodobnosti v praxi. Doporučujeme, abyste to udělali právě teď. Ale předtím se zaměříme na axiomy teorie pravděpodobnosti, budou hlavními pomocníky při řešení problémů.

Axiomy

Od prvního jsme se již setkali, když jsme mluvili o nemožné události. Pamatujte si, že pravděpodobnost nemožné události je nulová. Příklad, který jsme dali, byl velmi jasný a nezapomenutelný: sníh padl při teplotě vzduchu třiceti stupňů Celsia.

Druhý z nich zní takto: nastane spolehlivá událost s pravděpodobností rovnou jedné. Nyní nám ukážeme, jak lze psát pomocí matematického jazyka: P (B) = 1.

Za třetí: Náhodná událost se může objevit nebo ne, ale možnost se vždy liší od nuly po jednu. Čím blíže je hodnota k jednotě, tím větší je pravděpodobnost, že pokud se hodnota přiblíží na nulu, pravděpodobnost je velmi malá. Píšeme to v matematickém jazyce: 0

Zvažte poslední a čtvrté axiom, který zní takto: pravděpodobnost součtu dvou událostí se rovná součtu jejich pravděpodobností. Píšeme to v matematickém jazyce: P (A + B) = P (A) + P (B).

Axiomy teorie pravděpodobnosti jsou nejjednodušší pravidla, která lze snadno zapamatovat. Pokusíme se řešit některé problémy, spoléhat se na již získané poznatky.

Loterie

Nejprve se podívejme na nejjednodušší příklad - loterii. Představte si, že jste si koupili jednu loterii na štěstí. Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete nejméně dvacet rublů? Celkově se do oběhu zapojí tisíce vstupenek, z nichž jedna má cenu pět set rublů, deset za sto rublů, padesát za dvacet rublů a sto pět rublů. Problémy v teorii pravděpodobnosti jsou založeny na nalezení šance na úspěch. Nyní budeme analyzovat řešení výše uvedeného úkolu.

Označíme-li písmenem A výhru pět set rublů, pravděpodobnost ztráty A bude 0,001. Jak jsme to dostali? Potřebujete pouze počet "šťastných" lístků dělených jejich celkovým počtem (v tomto případě 1/1000).

V - je to zisk sto rublů, pravděpodobnost bude 0,01. Nyní jsme jednali na stejném principu jako v minulé akci (10/1000)

C - vítězství se rovná dvaceti rublům. Najdeme pravděpodobnost, je rovna 0,05.

Zbytek vstupenek nás nezajímá, protože jejich výherní fond je nižší než ten, který byl stanoven v daném stavu. Použijte čtvrtou axiom: Pravděpodobnost výhry alespoň dvaceti rublů je P (A) + P (B) + P (C). P písmeno označuje pravděpodobnost vzniku této události, kterou jsme již nalezli v předchozích akcích. Zbývá pouze přidat potřebná data, v odpovědi dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpovědí na otázku zadání.

Kartová karta

Problémy v teorii pravděpodobnosti jsou složitější, například se zabýváme následující činností. Předtím, než jste balíček třicet šest karet. Vaším úkolem je nakreslit dvě karty v řadě bez míchání zásobníku, první a druhá karta musí být esa, oblek na tom nezáleží.

Za prvé najdeme pravděpodobnost, že první karta bude eso, proto rozdělujeme čtyři o třicet šest. Odložili je. Získáme druhou kartu, bude to eso s pravděpodobností třicet pět. Pravděpodobnost druhé události závisí na tom, kterou kartou jsme poprvé vytáhli, a divíme se, jestli je to eso nebo ne. Z toho vyplývá, že událost B závisí na události A.

Dalším krokem, který jsme zde pravděpodobnost současného provedení, tedy násobit A a B. Jejich práce je následující: pravděpodobnost jedné události vynásobené podmíněnou pravděpodobnost druhého, vypočítat, za předpokladu, že došlo k první události, tedy první karta jsme vytáhl eso.

Aby vše bylo jasné, udělíme označení prvku, jako je podmíněná pravděpodobnost událostí. Vypočítá se za předpokladu, že došlo k události A. Vypočítáno následovně: P (B / A).

Pokračujeme v řešení problému: P (A_{* * *}B) = P (A)_{* * *}P (B / A) nebo P (A_{* * *}B) = P (B)_{* * *}P (A / B). Pravděpodobnost je (4/36)_{* * *}((3/35) / (4/36). Vypočítat, zaokrouhlovat na nejbližší stotu Máme: 0.11_{* * *}(0,09 / 0,11) = 0,11_{* * *}0,82 = 0,09. Pravděpodobnost, že nakreslíme dvě esa v řadě, se rovná devítimetinám. Hodnota je velmi malá, z toho vyplývá, že pravděpodobnost vzniku události je velmi malá.

Zapomenuté číslo

Navrhujeme demontovat několik dalších variant úkolů, které studium pravděpodobnosti teorie. Už jste viděli příklady řešení některých z nich v tomto článku, pokusíme se vyřešit následující problém: chlapec zapomněl na poslední číslo telefonního čísla jeho přítele, ale protože výzva byla velmi důležitá, začal psát vše podle pořadí. Musíme vypočítat pravděpodobnost, že nebude volat více než třikrát. Řešení problému je nejjednodušší, pokud jsou známa pravidla, zákony a axiomy teorie pravděpodobnosti.

Než se podíváte na řešení, zkuste to vyřešit sami. Víme, že poslední číslo může být od nuly do devíti, tedy pouze deset hodnot. Pravděpodobnost zadání požadované je 1/10.

Dále musíme vzít v úvahu varianty původu události, předpokládejme, že chlapec uhádl a okamžitě napsal správnou událost, pravděpodobnost takové události je 1/10. Druhá možnost: první volání je chybějící a druhé je na cíl. Vypočítejte pravděpodobnost takové události: 9/10 násobí 1/9, nakonec dostaneme také 1/10. Třetí možnost: první a druhá výzva nebyly na adrese, teprve od třetího chlapce dostal tam, kde chtěl. Vypočítáme pravděpodobnost takové události: 9/10 násobí 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10 jako výsledek. Jiné varianty nás nezajímají o stav problému, takže musíme doplnit výsledky, nakonec máme 3/10. Odpověď: pravděpodobnost, že chlapec nebude volat více než třikrát, je 0,3.

Karty s čísly

Předtím, než máte devět karet, z nichž každý je napsán s číslem od jednoho do devíti, čísla se neopakují. Byl vložen do krabice a důkladně promíchán. Musíte vypočítat pravděpodobnost, že

• tam bude sudé číslo-
• dvouhodnotné.

Než se přesunete k řešení, řekněme, že m je počet úspěšných případů a n je celkový počet možností. Najdeme pravděpodobnost, že číslo bude rovnoměrné. Nebude těžké vypočítat, že existují dokonce i čtyři čísla, to bude náš m, může jít o devět variant, to je m = 9. Pak pravděpodobnost je 0,44 nebo 4/9.

Druhý případ považujeme: počet možností je devět a nemůžeme mít žádný úspěšný výsledek, to znamená, že m je nula. Pravděpodobnost, že prodloužená karta bude obsahovat dvoumístné číslo, je také nulová.