Co je podmíněná pravděpodobnost a jak ji správně vypočítat?

Často se v životě setkáváme s tím, že musíme zhodnotit šance na akci. Ať už stojí za koupi loterie nebo ne, jaký bude pohlaví třetího dítěte v rodině, ať už zítra bude jasné počasí nebo déšť - existuje mnoho příkladů takových příkladů. V nejjednodušším případě by měl být počet příznivých výsledků vydělený celkovým počtem událostí. Pokud je v loterii 10 vítězných losů a pouze 50 z nich, pravděpodobnost získání ceny je 10/50 = 0,2, tj. 20 proti 100. A co když je několik událostí a jsou úzce spojeny? V tomto případě nás nezajímá jednoduchá, ale podmíněná pravděpodobnost. Jaká je tato hodnota a jak ji lze vypočítat - přesně to bude v našem článku řečeno.

Pojem

Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost vzniku události za předpokladu, že již došlo k jiné události s ní spojené. Zvažte jednoduchý příklad hodu mince. Pokud není remíza dosud, šance na pád orla nebo ocasu jsou stejné. Pokud však pětkrát za sebou skládáte minci, pak souhlasíte s očekáváním 6., 7. a ještě více, takže 10. opakování takového výsledku bude nelogické. Při každém opakování pádu orla vznikají šance na vzhled chvostů a dříve nebo později se vyčerpá.

Vzorec podmíněné pravděpodobnosti

Nyní pochopíme, jak je tato hodnota vypočtena. Označujeme první událost podle B a druhou za A. Pokud se pravděpodobnost přístupu B liší od nuly, bude platná následující rovnost:

P (A | B) = P (AB) / P (B), kde:

• P (A | B) je podmíněná pravděpodobnost výsledku A;
• P (AB) je pravděpodobnost společného výskytu událostí A a B;
• P (B) je pravděpodobnost události B.

Mírným převedením tohoto vztahu získáme P (AB) = P (A | B) * P (B). A pokud budete platit metoda indukce, pak můžeme odvodit vzorec produktu a použít jej pro libovolný počet událostí:

P (A₁, A₂, A₃,hellip-A_n) = P (A₁| A₂hellip-A_n) * P (A₂| A₃hellip-A_n) * P (A₃| A₄hellip-A_n) hellip-P (A_p-1| A_n) * P (A_n).

Praxe

Aby bylo snazší pochopit, jak podmíněný pravděpodobnost události, zvážit několik příkladů. Předpokládejme, že existuje váza, ve které je 8 čokolád a 7 mincovníků. Ve velikosti jsou stejné a náhodně jsou dva z nich postupně vytaženy. Jaké jsou šance, že oba se stanou čokoládou? Uvádíme notaci. Nechť výsledek A znamená, že první cukr je čokoláda, výsledek B je druhá čokoládová bonbón. Pak dostaneme následující:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 asymp- 0,27

Zvažme ještě jeden případ. Předpokládejme, že existuje dvojčlenná rodina a víme, že alespoň jedno dítě je dívka. Jaká je podmíněná pravděpodobnost, že tito rodiče ještě nemají chlapce? Stejně jako v předchozím případě začínáme zápisem. Nechť P (B) je pravděpodobnost, že v rodině je alespoň jedna dívka, P (A | B) je pravděpodobnost, že druhé dítě je také dívka, P (AB) jsou šance, že v rodině jsou dvě dívky. Nyní proveďte výpočty. Celkově mohou existovat 4 různé kombinace pohlaví dětí a pouze v jednom případě (pokud jsou v rodině dva chlapci), mezi dětmi nebudou žádné dívky. Proto pravděpodobnost P (B) = 3/4 a P (AB) = 1/4. Potom podle našeho vzorce získáme:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Vyjádřete výsledek takto: pokud bychom nevěděli o poli jednoho z dětí, šance obou dívek by byly 25 až 100. Ale protože víme, že jedno dítě je dívka, pravděpodobnost, že v rodině nejsou žádní chlapci, roste na jednu třetí.