Teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události, náhodné události (teorie pravděpodobnosti). Nezávislé a neslučitelné události v teorii pravděpodobnosti

Je nepravděpodobné, že mnoho lidí přemýšlí o tom, zda lze vypočítat události, které jsou do určité míry náhodné. Jednoduše řečeno, je skutečně možné vědět, která strana krychle je kostky

Původ

Pokud se pokusíte definovat takovou koncepci jako teorie pravděpodobnosti, získáte následující informace: Jedná se o jednu z oblastí matematiky, která se zabývá studiem stálosti náhodných událostí. Je zřejmé, že tento pojem ve skutečnosti neukazuje celý bod, takže je třeba jej brát v úvahu podrobněji.

Chtěl bych začít s zakladateli teorie. Jak bylo zmíněno výše, byly to dva Pierre Fermat a Blaise Pascal. Byli jedním z prvních, kteří používali vzorce a matematické výpočty pro výpočet výsledku události. Obecně se počátky této vědy projevily ve středověku. Zatímco různé myslitelé a vědci pokusili analyzovat kasinové hry, jako je ruleta, kostky, a tak dále, čímž se vytvoří obrazec, a procentuální podíl ztráty z řady. Nadace byla položena v sedmnáctém století právě výše uvedenými vědci.

Zpočátku jejich práce nelze připsat na velké úspěchy v této oblasti, po tom všem, co udělali, byli prostě empirických faktů a experimenty byly jasně bez použití vzorců. Postupně se ukázalo, že bylo dosaženo skvělých výsledků, které se objevily kvůli pozorování házení kostí. Tento nástroj pomohl vyvstávat první odlišné vzorce.

Stejně smýšlející lidé

Je nemožné nezmínit takovou osobu, jako je Christian Huygens, v procesu studia tématu nazvaného "teorie pravděpodobnosti" (pravděpodobnost události je pokryta v této vědě). Tato osoba je velmi zajímavá. On, stejně jako vědci uvedení výše, se snažili odvodit zákony náhodných událostí ve formě matematických vzorců. Je pozoruhodné, že to nečiní ve spojení s Pascalem a Fermatem, to znamená, že se všechny jeho práce nepřekrývají s těmito mysli. Huygens vyvodil základní pojmy teorie pravděpodobnosti.

Zajímavé je, že jeho práce byla publikována dlouho před výsledky díla objevitelů, nebo spíše o dvacet let dříve. Mezi určené koncepty patří nejslavnější:

• pojem pravděpodobnosti jako velikost šance;
• matematické očekávání pro diskrétní případy;
• věty násobení a přidání pravděpodobností.

Také je nemožné si nevzpomenout Jakoba Bernoulliho, který také významně přispěl ke studiu tohoto problému. Vedl své vlastní, nikdo na nezávislých soudech, byl schopen předložit důkaz o zákoně velkých čísel. Vědci z Poissona a Laplaceové, kteří pracovali na počátku devatenáctého století, dokázali dokázat původní věty. Právě v tomto okamžiku byla teorie pravděpodobnosti použita k analýze chyb během pozorování. Rusové vědci, nebo spíše Markov, Chebyšev a Diapunov, nebyli schopni obejít tuto vědu. Na základě práce skvělých géniových osob fixovali tento předmět jako část matematiky. Tyto údaje fungovaly na konci devatenáctého století a díky jejich příspěvku byly tyto jevy jako:

• zákon velkých čísel;
• teorie markovských řetězců;
• centrální mezní větu.

Takže s historií vzniku vědy as hlavními osobami, které ji ovlivnily, je vše více či méně jasné. Nyní je čas konkretizovat všechny fakty.

Základní pojmy

Než se dotkneme zákonů a teorémů, stojí za to studovat základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Událost v ní zaujímá dominantní roli. Toto téma je poměrně objemné, ale bez toho nebudete schopni pochopit vše ostatní.

Událostí v teorii pravděpodobnosti je jakákoli sada výsledků provedeného experimentu. Neexistuje tolik názorů na tento jev. Takže vědec Lotman, který pracuje v této oblasti, řekl, že v tomto případě jde o to, co se stalo ", i když se to nemohlo stát."

Náhodné události (teorie pravděpodobnosti jim věnuje zvláštní pozornost) je koncept, který znamená absolutně jakýkoli fenomén, který může nastat. Nebo naopak, tento scénář nemůže dojít, když je splněno mnoho podmínek. Je také třeba poznamenat, že se jedná o náhodné události, které zachycují celý objem událostí, ke kterým došlo. Teorie pravděpodobnosti naznačuje, že všechny podmínky lze opakovat po celou dobu. Bylo to jejich chování nazvané "zkušenost" nebo "test".

Určitá událost je fenomén, který se v této studii zcela stane. Proto je nemožná událost něco, co se nestane.

Kombinace dvou akcí (podmíněně případ A a případ B) je fenomén, který se vyskytuje současně. Označují se jako AB.

Součet párů událostí A a B je C, jinými slovy, pokud se objeví alespoň jeden z nich (A nebo B), pak je výsledek C. Formula pro popsaný jev je napsán jako: C = A + B.

Nekonzistentní události v teorii pravděpodobnosti naznačují, že se dva případy navzájem vzájemně vylučují. Současně se však v žádném případě nestane. Společné události v teorii pravděpodobnosti jsou jejich antipodem. Zde se míní, že pokud se stane A, nezabrání V.

Opačné události (teorie pravděpodobnosti je zajímají podrobně) jsou snadno srozumitelné. Nejlepší je porovnávat s nimi. Jsou téměř stejné jako nekompatibilní události v teorii pravděpodobnosti. Ale jejich rozdíl spočívá v tom, že by se měl v každém případě objevit jeden z mnoha jevů.

Rovněž možné události jsou akce, jejichž opakovatelnost je stejná. Chcete-li být jasnější, můžete si představit, že hodíte minci: pád jedné strany je stejně pravděpodobný pád dalšího.

Příhodná událost je snadnější uvažovat s příkladem. Řekněme, že se jedná o epizodu B a epizodu A. První je kolečko kostky s podobným lichým číslem a druhé je vzhled čísla pět na kostce. Pak se ukázalo, že A je příznivé pro B.

Nezávislé události v teorii pravděpodobnosti se projevují pouze ve dvou nebo více případech a naznačují nezávislost jakéhokoli jednání od druhého. Například A - klesání ocasu při házení mince a B - získání jack z paluby. Jsou to nezávislé události v teorii pravděpodobnosti. V tomto okamžiku se to stalo jasnějším.

Závislé události v teorii pravděpodobnosti jsou přípustné pouze pro jejich soubor. Znamená to závislost jednoho z druhého, tj. Jev B se může objevit pouze tehdy, jestliže již došlo nebo se naopak nestalo, když to je hlavní podmínka pro V.

Výsledkem náhodného experimentu sestávajícího z jedné složky je elementární události. Teorie pravděpodobnosti vysvětluje, že se jedná o fenomén, který se vyskytl pouze jednou.

Základní vzorce

Takže pojmy "událost" a "teorie pravděpodobnosti" byly shrnuty výše, byla také dána definice základních pojmů této vědy. Nyní je čas se seznámit přímo s důležitými vzorci. Tyto výrazy matematicky potvrzují všechny hlavní pojmy v tak obtížném předmětu, jako je teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události zde hraje obrovskou roli.

Je lepší začít se základními vzorci kombinátorů. A než k nim přistoupíte, stojí za to zvážit, co to je.

Kombinatorika - je v první řadě odvětví matematiky, studuje obrovské množství čísel a různých obměn obou čísel a jejich prvky, různá data, atd, což vede k celé řadě kombinací ... Kromě teorie pravděpodobnosti je tato větev důležitá pro statistiku, informatiku a kryptografii.

Takže nyní můžete pokračovat ve znázornění samotných vzorců a jejich definice.

První z nich bude vyjádřením počtu permutací, vypadá to takto:

P_n = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) hellip-3 sdot-2 sdot-1 = n!

Rovnice se používá pouze v případě, že se elementy liší pouze v pořadí jejich umístění.

Nyní budeme zvažovat vzorec umístění, vypadá takto:

A_n ^ m = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) sdot- ... sdot- (n-m + l) = n! : (n-m)!

Tento výraz platí nejen pro pořadí umístění prvku, ale také pro jeho složení.

Třetí rovnice kombinátorů, a to je druhá, se nazývá vzorec pro počet kombinací:

C_n ^ m = n! : (((n - m))! : m!

Kombinace je vzorek, který není objednaný, a toto pravidlo platí pro ně.

C kombinatorické vzorce Ukázalo se, že je snadné pochopit, že nyní můžeme pokračovat v klasické definici pravděpodobností. Tento výraz vypadá takto:

P (A) = m: n.

V tomto vzorci m je počet podmínek, které favorizují událost A, a n je počet absolutně všech stejně možných a elementárních výsledků.

Existuje spousta výrazů, článek se nebude týkat všeho, ale budou to nejdůležitější, jako například pravděpodobnost souhrnu událostí:

P (A + B) = P (A) + P (B) - tato teorém pro přidání pouze nekompatibilních událostí;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - toto je pouze pro sadu kompatibilní.

Pravděpodobnost události:

P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B) - tato teorém pro nezávislé události;

(P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (B | A) -P (A sdot-B) = P (A) sdot-P (A | B)) - a to pro závislé.

Ukončete seznam vzorců událostí. Teorie pravděpodobnosti nám říká o Beyeově větu, která vypadá takto:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (součet -_ (k = 1), n ​​^ P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ... , n

V tomto vzorci je H₁, H₂, hellip-, H_n Je kompletní sada hypotéz.

Budeme se na to zabývat, uvažujeme o příkladech použití formulací pro řešení konkrétních problémů z praxe.

Příklady

Pokud pečlivě studujete nějakou část matematiky, nedělá to bez cvičení a vzorových řešení. Takže teorie pravděpodobnosti: události, příklady zde jsou nedílnou součástí potvrzující vědecké výpočty.

Vzorec pro počet permutací

Řekněme, že v kartě je třicet karet, počínaje nominální hodnotou. Další otázka. Kolik způsobů existuje způsob, jak přeložit balíček tak, aby karty s nominální hodnotou jednoho a dvou nejsou umístěny vedle sebe?

Úloha je nastavena, teď se přesuneme k jejímu řešení. Nejprve je třeba určit počet permutací třiceti prvků, proč bychom vzali výše uvedený vzorec, dostaneme P_30 = 30!

Na základě tohoto pravidla, víme, kolik možností existuje stanovit na palubu v mnoha ohledech, ale musíme být odečtena z nich jsou ty, v nichž se první a druhá karta bude dál. Chcete-li to provést, začneme s možností, když první je nad druhou. Ukazuje se, že první mapy může trvat dvacet devět míst - od prvního do dvacátého devátého a druhá karta od druhého do třiceti, otočí dvacet devět míst pro páry karet. Na druhou stranu, zbytek může mít dvacet osm míst a v jakémkoliv pořadí. To znamená, že pro přeskupení osmadvaceti karet již dvacet osm možnosti P_28 = 28!

Nakonec se ukázalo, že pokud se uvažuje o řešení, když první karta překoná druhou kartu, získá se další příležitosti 29 sdot-28! = 29!

Při použití stejné metody je třeba vypočítat počet redundantních možností pro případ, kdy je první karta pod druhou. Ukázalo se také 29 sdot-28! = 29!

Z toho vyplývá, že další možnosti 2 sdot-29 !, zatímco potřebné způsoby, jak sbírat balíček 30! - 2 sdot-29! Zbývá jen počítat.

30! = 29! sdot-30-30! - 2 sdot-29! = 29! sdot- (30-2) = 29! sdot-28

Teď potřebujeme vynásobit všechna čísla od jednoho do dvaceti devíti, po které rozmnožíme vše o 28. Získáme odpověď 2,4757335 sdot- 〖10〗 ^ 32

Řešení příkladu. Vzorec pro počet umístění

V tomto úkolu je nutno zjistit, kolik způsobů je možné dát patnáct svazků na jeden regál, ale za předpokladu, že je celkem třicet svazků.

V tomto problému je řešení o něco jednodušší než v předchozím. Pomocí již známého vzorce je nutné vypočítat celkový počet uspořádání od třiceti svazků po patnáct.

A_30 ^ 15 = 30 sdot-29 sdot-28sdot -... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot-16 = 202,843,204,931,727,360,000

Odpověď bude 202 843 204 931 727 360 000.

Nyní se ujme trochu komplikovanějšího úkolu. Je třeba zjistit, kolik způsobů je možné umístit třicet knih na dvě knihovny, za předpokladu, že pouze patnáct svazků může být na jednom poli.

Před začátkem tohoto rozhodnutí by chtěla objasnit, že některé problémy lze vyřešit několika způsoby, a to existují dva způsoby, ale je použita jak jedna a ta samá formule.

V tomto úkolu můžeme vzít odpověď z předchozího, protože tam jsme vypočítali, kolikrát je možné vyplnit polici za patnáct knih různými způsoby. Ukázalo se, že A_30 ^ 15 = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot-29 sdot-28 sdot- ... sdot- 16.

Druhý regál bude vypočítán podle permutačního vzorce, protože v něm je umístěno patnáct knih, zatímco zbývá pouze patnáct knih. Používáme vzorec P_15 = 15 !.

Ukazuje se, že částka bude A_30 ^ 15 sdot- P_15 způsoby, ale navíc součin všech čísel od třiceti do šestnácti let by se vynásobí součinu čísel od jedné do patnácti, nakonec dopadne součin všech čísel od jedné do třiceti, to znamená, že odpověď je 30!

Ale tento úkol lze vyřešit jiným způsobem - je to jednodušší. Pro toto si můžete představit, že existuje jeden regiment pro třicet knih. Všechny z nich jsou umístěny na této rovině, ale proto, že podmínka vyžaduje, aby existovaly dvě police, jedna dlouhá jsme řezání na polovinu, dvě otáčky patnáct. Z toho vyplývá, že varianty uspořádání mohou být P_30 = 30 !.

Řešení příkladu. Vzorec pro číslo kombinace

Nyní budeme zvažovat variantu třetího problému z kombinatoriky. Je třeba zjistit, kolik způsobů je uspořádání patnácti knih, za předpokladu, že je nutné vybrat z třiceti zcela identických.

Pro řešení bude samozřejmě použito vzorce pro počet kombinací. Z tohoto stavu je zřejmé, že pořadí stejných patnácti knih není důležité. Proto je zpočátku nutné zjistit celkový počet kombinací od třiceti knih po patnáct.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

To je všechno. Pomocí tohoto vzorce jsme v co nejkratším možném čase vyřešili tento problém, resp. Odpověď je 155 117 520.

Řešení příkladu. Klasická definice pravděpodobnosti

Pomocí výše uvedeného vzorce najdete odpověď v jednoduchém úkolu. To ale pomůže vizuálně vidět a sledovat průběh akce.

V problému je dáno, že v urně je deset zcela identických míčků. Z nich jsou čtyři žluté a šest jsou modré. Jedna míč je převzata z urny. Musíte znát pravděpodobnost, že se dostanete modrou.

K vyřešení tohoto problému je třeba jmenovat dostavanie modré koule pro zvláštní události, A. Tato zkušenost může mít deset výsledků, které, podle pořadí, základní a stejně pravděpodobné. Současně z deseti desíti šesti je příznivé pro akci A. Rozhodli jsme se podle vzorce:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Při použití tohoto vzorce jsme se dozvěděli, že schopnost získat modrou kouli je 0,6.

Řešení příkladu. Pravděpodobnost součtu událostí

Kdo bude varianta, která je řešena pomocí vzorce pravděpodobnosti množství událostí. Takže vzhledem k tomu, podmínka, že existují dva případy, první z nich je šedé a pět bílé koule, zatímco druhá - osm šedých a čtyři bílé koule. V důsledku toho byl jeden z nich převzat z první a druhé schránky. Je třeba zjistit, jaká je šance, že získané míče budou šedé a bílé.

K vyřešení tohoto problému je nutné určit události.

• Takže A - odebral šedou kouli z první zásuvky: P (A) = 1/6.
• Arsquo- - vzal i bílou kouli z první zásuvky: P (A `) = 5/6.
• B - extrahoval šedou kouli z druhé krabice: P (B) = 2/3.
• Vrsquo- - odebral šedou kouli z druhé krabičky: P (B `) = 1/3.

Podmínkou problému je, že se jedná o jeden z těchto jevů: Abrsquo- nebo Arsquo-B. Pomocí vzorce získáme: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Nyní byl použit vzorec pro násobení pravděpodobnosti. Dále, abychom zjistili odpověď, je třeba použít rovnici jejich přidání:

P = P (AB `+ A`B) = P (AB`) + P (A`B) = 11/18.

Takže pomocí vzorce můžete vyřešit podobné problémy.

Výsledek

Článek představuje informace o teorii pravděpodobnosti, pravděpodobnosti události, ve které hraje zásadní roli. Samozřejmě, nebylo vše vzato v úvahu, ale na základě předloženého textu se teoreticky seznámíte s touto částí matematiky. Tato věda může být užitečná nejen v odborné praxi, ale i v každodenním životě. S jeho pomocí můžete vypočítat každou možnost události.

Text se také dotkl významných termínů v historii vzniku teorie pravděpodobnosti jako vědy a jména lidí, jejichž práce byly investovány do ní. Taková lidská zvědavost vedla k tomu, že lidé se naučili počítat i náhodné události. Jakmile se o ni začali zajímat, dnes o tom všichni ví. A nikdo neřekne, co nás čeká v budoucnu, jaké další brilantní objevy související s uvažovanou teorií budou spáchány. Ale jedna věc je jistá - výzkum na místě není za to!