Distribuční funkce náhodné proměnné. Jak najít distribuční funkci náhodné proměnné

Abychom našli distribuční funkce náhodných proměnných a jejich proměnných, je nutné studovat všechny rysy tohoto oboru znalostí. Existuje několik různých metod pro nalezení zvažovaných hodnot, včetně změny proměnné a generování točivého momentu. Distribuce je koncept založený na prvcích, jako je variace, variace. Nicméně charakterizují pouze stupeň amplitudy rozptylu.

Důležitější funkce náhodných proměnných jsou ty, které jsou připojené a nezávislé a jsou rovnoměrně rozděleny. Například, pokud X1 - hmotnost náhodně zvoleného jedince z populace mužů, X2 - další hmotnosti, ... a Xn - hmotnost jiné osoby mužské populace, pak musíte vědět, jak je náhodná funkce X distribuovány. V tomto případě aplikujeme klasickou větu, nazývanou centrální mezní větu. Umožňuje nám ukázat, že pro velkou n funkce funguje podle standardních distribucí.

Funkce jedné náhodné proměnné

Centrální mezní věta je určena k aproximaci diskrétních hodnot, jako je binomická a Poissonova. Distribuční funkce náhodných proměnných jsou zváženy především na jednoduchých hodnotách jedné proměnné. Například pokud X je spojitá náhodná proměnná, která má vlastní rozdělení pravděpodobnosti. V tomto případě zkoumáme, jak najít funkci hustoty Y pomocí dvou různých přístupů, a to metody distribuce a variabilních variací. Za prvé jsou brány v úvahu pouze hodnoty jedna k jedné. Poté musíte upravit techniku ​​změny proměnné a najít její pravděpodobnost. Nakonec se musíme naučit, jak může inverzní funkce kumulativní distribuce pomoci při modelování náhodných čísel, která následují po určitých sekvenčních obvodech.

Metoda rozdělení uvažovaných hodnot

Metoda pravděpodobnostní distribuční funkce náhodné proměnné je použitelná pro nalezení její hustoty. Při použití této metody se vypočítá kumulativní hodnota. Pak jej diferencováním získáme pravděpodobnost hustoty. Nyní, za přítomnosti metody distribuční funkce, můžeme zvážit několik dalších příkladů. Nechť X je spojitá náhodná proměnná s jistou hustotou pravděpodobnosti.

Jaká je pravděpodobnost hustoty funkce x2? Pokud se podíváme na funkci nebo ji vykreslujeme (zhora a napravo) y = x2, můžeme si všimnout, že jde o rostoucí X a 0

V posledním příkladu byla velká pozornost použita pro indexování kumulativních funkcí a hustoty pravděpodobnosti, a to buď pomocí X nebo Y, aby se ukázala, na kterou náhodnou proměnnou patřily. Například při hledání kumulativní distribuční funkce byl Y zadán X. Je-li třeba nalézt náhodnou proměnnou X a její hustotu, je třeba ji jednoduše rozlišit.

Technika pro změnu proměnných

Nechť X je spojitá náhodná proměnná daná distribuční funkcí se společným jmenovatelem f (x). V tomto případě, je-li hodnota y v místě X = V (Y), pak získáme hodnotu x, například v (y). Nyní, aby distribuční funkci spojité náhodné veličiny Y. V případě, že první a druhé rovnice drží z definice kumulativního Y. Třetí rovnosti má vzhledem k funkci, pro kterou u (X) le-y, je také pravda, že X le-v (Y). A druhá je provedena pro určení pravděpodobnosti v souvislé náhodné proměnné X. Teď musíme získat derivát FY (y), kumulativní distribuční funkce Y, abychom získali pravděpodobnost Y.

Zobecnění funkce redukce

Nechť X je spojitá náhodná proměnná se společným f (x) definovaným nad c1

K vyřešení tohoto problému je možné shromáždit kvantitativní údaje a použít empirickou kumulativní distribuční funkci. S těmito informacemi a jejich přitažlivostí je nutné kombinovat vzorky prostředků, standardní odchylky, mediální údaje atd.

Podobně dokonce i poměrně jednoduchý pravděpodobnostní model může mít obrovský počet výsledků. Například pokud otočíte minci 332krát. Poté je počet výsledků získaných z převratů vyšší než počet google (10100) - počet, ale ne méně než 100 quintilionů násobek elementárních částic ve známém vesmíru. Nezajímavá je analýza, která dává odpověď na každý možný výsledek. Je zapotřebí jednodušší koncepce, jako je počet hlav nebo nejdelší chvost. Chcete-li se zaměřit na záležitosti, které vás zajímají, dosáhnete určitého výsledku. Definice v tomto případě je následující: náhodná proměnná je skutečná funkce s pravděpodobným prostorem.

Rozsah S náhodné proměnné se někdy nazývá stavový prostor. Pokud tedy X je uvažovaná hodnota, tak N = X2, exp crarr-X, X2 + 1, tan2X, bXc a tak dále. Poslední z nich, zaokrouhlování X na nejbližší celé číslo, se nazývá funkce pohlaví.

Distribuční funkce

Poté, co si vybral zájem je distribuční funkce náhodné veličiny X, otázka obvykle stává: „Jaké jsou šance, že X spadá do určité podmnožiny hodnot B»?. Například, B = {lichá čísla}, B = {1} nebo větší B = {mezi 2 a 7} se uvádí výsledky, které mají X, náhodnou proměnnou hodnotu, podmnožinu A. Tak ve výše uvedeném příkladu může být popisujte následující události.

{X je liché číslo}, {X je větší než 1} = {X> 1}, {X je mezi 2 a 7} = {2

Náhodné proměnné a distribuční funkce

Je tedy možné vypočítat pravděpodobnost, že distribuční funkce náhodné proměnné x odebírá hodnoty v intervalu odčítáním. Musíte přemýšlet o zahrnutí nebo vyloučení koncových bodů.

Nazýváme náhodnou proměnnou diskrétní, pokud má konečný nebo počítaný nekonečný stavový prostor. Takže X je počet hlav na třech nezávislých prohloubeních vysunuté mince, která se zvyšuje s pravděpodobností p. Je nutné najít kumulativní distribuční funkci diskrétní náhodné proměnné FX pro X. Nechť X je počet špiček ve sbírce tří karet. Pak Y = X3 přes FX. FX začíná na 0, končí na 1 a nezvyšuje s rostoucími hodnotami x. Kumulativní funkce distribuce FX diskrétní náhodné proměnné X je konstantní, s výjimkou skoků. Při skoku je FX spojitý. Prokázat prohlášení o správné kontinuitě distribuční funkce z pravděpodobnostní vlastnosti pomocí definice. Zní to takto: konstantní náhodná proměnná má kumulativní FX, která je diferencovatelná.

Abychom ukázali, jak se to může stát, můžeme uvést příklad: cíl s poloměrem jednotky. Pravděpodobně. Šipka je rovnoměrně rozdělena do zadané oblasti. Pro některé lambda-> 0. Distribuční funkce spojitých náhodných veličin se tak plynule zvyšují. FX má vlastnosti distribuční funkce.

Člověk čeká na autobus na autobusové zastávce, dokud nepřijde. Rozhodne se, že odmítne, až čekání dosáhne 20 minut. Zde je nutné najít kumulativní distribuční funkci pro T. Čas, kdy bude člověk stále na autobusové stanici, nebo neodejde. Navzdory skutečnosti, že kumulativní distribuční funkce je definována pro každou náhodnou proměnnou. Stejně tak se často často používají i jiné charakteristiky: hmotnost pro diskrétní proměnnou a distribuční funkce náhodné proměnné. Normálně je hodnota vyvedena jednou z těchto dvou hodnot.

Hromadné funkce

Tyto hodnoty jsou považovány za následující vlastnosti, které mají společný (hmotnostní znak). První je založena na skutečnosti, že pravděpodobnost není negativní. Druhé pozorování naznačuje, že množina všech x = 2S, stavový prostor X, tvoří rozdělení pravděpodobnosti svoboda X. Příklad zkreslené mince válců, jehož výsledky jsou nezávislé. Můžete pokračovat v provádění určitých akcí, dokud se nedostanete headshot. Nechť X označuje náhodnou proměnnou, která udává počet ocasů před první hlavou. A p označuje pravděpodobnost každé dané akce.

Funkce pravděpodobnosti hmotnosti má tedy následující charakteristické rysy. Protože termíny tvoří číselnou sekvenci, X se nazývá geometrická náhodná proměnná. Geometrická schéma c, cr, cr2,. ,,,, crn má součet. A v důsledku toho sn má limit pro n 1. V tomto případě je nekonečná suma limit.

Hmotnostní funkce nahoře tvoří geometrickou posloupnost se vztahem. Proto přirozená čísla a a b. Rozdíl v hodnotách distribuční funkce se rovná hodnotě hmotnosti.

Uvažované hodnoty hustoty mají následující definici: X je náhodná proměnná, jejíž distribuce FX má derivát. FX, vyhovující Z xFX (x) = fX (t) dt-1, se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti. A je nazývána spojitou náhodnou veličinou. V základní teorii o počtu je hustota funkce derivátem distribuce. Pravděpodobnost můžete vypočítat výpočtem určitých integrálů.

Vzhledem k tomu, že údaje jsou shromážděny z několika pozorování, je třeba zvážit více než jednu náhodnou proměnnou, aby simulovaly experimentální postupy. V důsledku toho soubor těchto hodnot a jejich společná distribuce pro dvě proměnné X1 a X2 znamenají události sledování. U diskrétních náhodných veličin se určují společné pravděpodobnostní hmotnostní funkce. Pro spojitost považujeme fX1, X2, kde je splněna pravděpodobnost hustoty spoje.

Nezávislé náhodné veličiny

Dvě náhodné proměnné X1 a X2 jsou nezávislé, pokud jsou nějaké dvě události související s nimi stejné. Slova, pravděpodobnost, že dvě události {X1 2 B1} a {X2 2 B2} se vyskytují současně, y se rovná součinu výše uvedených proměnných, že každá z nich se vyskytuje jednotlivě. Pro nezávislé diskrétní náhodné veličiny existuje funkce společné pravděpodobnostní hmotnosti, která je produktem omezujícího objemu iontů. Pro nezávislé průběžné náhodné veličiny je funkce hustoty pravděpodobnosti spoje produktem hodnot limitní hustoty. Na závěr, n nezávislé pozorování x1, x2 ,. x, vznikající z neznámého hustota nebo hromadné funkce f. Například neznámý parametr ve funkcích pro exponenciální náhodnou proměnnou popisující čekací dobu sběrnice.

Simulace náhodných proměnných

Hlavním cílem této teoretické oblasti je poskytnout nástroje nezbytné pro vývoj inferenčních postupů založených na zdravých principech statistické vědy. Jedním z nejdůležitějších aplikací softwaru je tedy schopnost vytvářet pseudo-data pro simulaci skutečných informací. To umožňuje testovat a zdokonalovat metody analýzy před tím, než je budete muset použít v reálných databázích. To je nezbytné k prozkoumání vlastností dat pomocí modelování. Pro mnohé často používané rodiny náhodných proměnných poskytuje R příkazy pro jejich vytvoření. Pro jiné okolnosti potřebujeme metody pro modelování sekvence nezávislých náhodných proměnných, které mají společnou distribuci.

Diskrétní náhodné proměnné a vzor příkazu. Vzorový příkaz se používá k vytvoření jednoduchých a stratifikovaných náhodných vzorků. V důsledku toho, je-li sekvence podává x, vzorek (x, 40) vybere 40 pokusy o x tak, že jsou všechny varianty velikostí 40 mají stejnou pravděpodobnost. Toto používá výchozí příkaz R pro vzorkování bez náhrady. Můžete jej také použít k simulaci diskrétních náhodných proměnných. K tomu musíte poskytnout stavový prostor ve vektoru x a hmotnostní funkci f. Volání nahradit = TRUE označuje, že vzorkování nastane s náhradou. Poté, čímž se získá vzorek n nezávisle proměnné, které mají společnou hmotnostní funkce f, použitý vzorek (x, n, nahradit = TRUE, prob = f).

Je zjištěno, že 1 je nejmenší zastoupená hodnota a 4 je největší ze všech. Jestliže prob = f je vynecháno, vzorka bude vybrána rovnoměrně od hodnot ve vektoru x. Zkontrolujte simulaci proti hromadné funkci, která vygenerovala data, a věnujte pozornost značce dvojité rovnosti ==. A vyprávění pozorování, které berou každou možnou hodnotu pro x. Můžete vytvořit stůl. Opakujte to pro 1000 a srovnejte simulaci s odpovídající masovou funkcí.

Ilustrace transformace pravděpodobnosti

Nejprve simulujeme homogenní distribuční funkce náhodných proměnných u1, u2,. ,,, un v intervalu [0, 1]. Přibližně 10% čísel by mělo být v rozmezí [0,3, 0,4]. To odpovídá 10% simulací na intervalu [0,28, 0,38] pro náhodnou proměnnou s uvedenou distribuční funkcí FX. Podobně asi 10% náhodných čísel by mělo být v intervalu [0,7, 0,8]. To odpovídá 10% simulací v intervalu [0.96, 1.51] náhodné proměnné s distribuční funkcí FX. Tyto hodnoty na ose x lze získat z výnosu z FX. Jestliže X je spojitá náhodná proměnná s hustotou fX pozitivní všude ve své doméně, pak distribuční funkce přísně stoupá. V tomto případě FX má inverzní funkci FX-1, známou jako kvanelová funkce. FX (x) u pouze pokud x FX-1 (u). Přepočet pravděpodobnosti vyplývá z analýzy náhodné proměnné U = FX (X).

FX má rozsah mezi 0 a 1. To nemusí mít hodnotu nižší než 0 ° C nebo vyšší než 1. Pro hodnoty u mezi 0 a 1. V případě, že je možné simulovat U, je nutné, aby simulovaly náhodnou proměnnou s distribuční funkce FX přes kvantilu. Vezměte derivát, aby se zjistilo, že hustota je v rozmezí u 1. Vzhledem k tomu, náhodná proměnná U má konstantní hustotu přes rozsah jeho možných hodnot, se říká, že je jednotná v intervalu [0, 1]. Je modelován v R pomocí příkazu runif. Identita se nazývá transformace pravděpodobnosti. Vidíte, jak to funguje v příkladu pomocí šipkové desky. X mezi 0 a 1, distribuční funkce u = FX (x) = X 2, a tím i kvantilové funkce x = FX-1 (u). Je možné simulovat nezávislé pozorování vzdálenosti od středu šipkového panelu a tím vytvořit jednotné náhodné proměnné U1, U2. ,, Un. Funkce distribuce a empirické jsou založeny na 100 simulacích distribuce šípkové desky. Pro exponenciální náhodné veličiny, pravděpodobně u = FX (x) = 1 - exp (- x), a proto, x = - 1 ln (1 - u). Někdy se logika skládá z rovnocenných výroků. V tomto případě musíte spojit dvě části argumentu. Identita s průsečíkem je podobná pro všechny 2 {S i i} S, namísto určité hodnoty. Spojení Ci se rovná stavovému prostoru S a každý pár se navzájem vylučuje. Protože Bi je rozdělen do tří axiomů. Každá kontrola je založena na odpovídající pravděpodobnosti P. Pro každou podmnožinu. Použití totožnosti, aby se ujistil, že odpověď nezávisí na tom, zda jsou zahrnuty koncové body intervalu.

Exponenciální funkce a její proměnné

Pro každý výsledek je ve všech případech použita druhá vlastnost kontinuity pravděpodobností, která je považována za axiomatickou. Zákon o distribuci funkce náhodné proměnné zde ukazuje, že každý má své vlastní řešení a odpověď.