Geometrická progrese. Příklad s roztokem

Považujeme určitou sérii.

7 28 112 448 1792 ...

Je zcela jasné, že hodnota všech jeho prvků je čtyřnásobně vyšší než hodnota předchozí. Proto je tato série progresí.

Geometrická progrese je nekonečná sekvence čísel, jejíž hlavní rys je to, že další číslo je získáno od předchozího čísla násobením určitým číslem. To je vyjádřeno následujícím vzorcem.

a_z+1= a_zmiddot-q, kde z je číslo zvolené položky.

Podle toho z isin-N.

Doba, kdy je studována geometrická progrese ve škole, je stupeň 9. Příklady vám pomohou pochopit koncept:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Vychází-li se z tohoto vzorce, jmenovatel progrese lze nalézt takto:

Ani q ani b_z nemůže být nulová. Také každý z prvků číselné řady postup by neměl být nulový.

Podle toho, abychom našli další číslo série, musíme vynásobit poslední číslem q.

Chcete-li určit tento postup, musíte zadat jeho první prvek a jmenovatel. Poté je možné najít některého z následujících členů a jejich součet.

Odrůdy

V závislosti na q a a_1, tento postup je rozdělen do několika typů:

• Pokud a₁, a q je větší než jedna, pak je taková sekvence geometrická progrese zvyšující se s každým dalším prvkem. Příklad tohoto je uveden níže.

Příklad: a₁= 3, q ​​= 2 - oba parametry jsou větší než jeden.

Poté lze číselnou sekvenci zapsat takto:

3 6 12 24 48 ...

• Pokud | q | menší než jedna, tj. násobení je rovno dělení, pak postup s podobnými podmínkami je klesající geometrický postup. Příklad tohoto je uveden níže.

Příklad: a₁= 6, q = 1/3 - a₁ více než jedno, q - méně.

Pak lze zapsat číselnou sekvenci takto:

6 2 2/3 ... - každý prvek je větší než prvek, který následuje, 3krát.

• Střídá se. Pokud q<0, znaménka sekvenčních čísel se neustále střídají bez ohledu na a₁, a tyto prvky se nezvyšují ani neznižují.

Příklad: a₁ = -3, q = -2 - oba parametry jsou menší než nula.

Poté lze číselnou sekvenci zapsat takto:

-3, 6, -12, 24, ...

Vzorce

Pro pohodlné použití geometrických postupů existuje mnoho vzorců:

• Vzorec zthového výrazu. Umožňuje vypočítat prvek, který je pod určitým číslem bez výpočtu předchozích čísel.

Příklad: q = 3, a₁ = 4. Je třeba vypočítat čtvrtý prvek postupu.

Řešení: a₄ = 4 middot- 3^4-1= 4 middot-3³ = 4 middot- 27 = 108.

• Součet prvních prvků, jejichž číslo jez. Umožňuje vypočítat součet všech prvků sekvence předtím a_z včetně.

Protože (1-q) je v jmenovateli, potom (1 - q) ne-0, tedy q není roven 1.

Poznámka: Pokud q = 1, progrese by byla série nekonečně opakujících se čísel.

Součet geometrického postupu, příklady: a₁ = 2, q = -2. Vypočítat S₅.

Řešení: S₅ = 22 - výpočet podle vzorce.

• Součet, pokud |q| |. | < 1 a pokud z má nekonečno.

Příklad: a₁ = 2_, q = 0,5. Najděte částku.

Řešení: S_z = 2middot- = 4

Pokud počítáte součet několika členů ručně, můžete vidět, že to opravdu má čtyři.

S_z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Některé vlastnosti:

• Charakteristické vlastnosti. Pokud je splněna následující podmínkapro všechny z, pak je daná číselná řada geometrická progrese:

a_z²= a_z-1middot- a_{z + 1}

• Podobně čtverce libovolného počtu geometrických postupů se nalézá přidáním čtverců dvou dalších čísel v dané řadě, pokud jsou od tohoto prvku rovnocenné.

a_z² = a_z-t² + a_z+t², kde t - vzdálenost mezi těmito čísly.

• Prvky liší se v q časy.
• Logaritmů prvků postupu, stejně tvoří postup, ale aritmetiku, to znamená, že každý z nich více než předchozí určitým číslem.

Příklady některých klasických problémů

Abychom lépe pochopili, jaký je geometrický vývoj, pomohou příklady s řešením pro třídu 9.

• Podmínky: a₁ = 3, a₃ = 48. Najít q.

Řešení: každý následující prvek je větší než předchozí qčasy. Některé prvky je třeba vyjádřit prostřednictvím jiných pomocí jmenovatele.

Proto, a₃ = q²middot-a₁

Při nahrazení q=4

• Podmínky: a₂ = 6, a₃ = 12. Vypočítá S_6..

Řešení: K tomu je dostačující najít q, první prvek a nahradit ho ve vzorci.

a₃ = qmiddot-a₂, proto, q = 2

a₂ = qmiddot-a₁, protoa₁ = 3

S_6. = 189

• middot- a₁ = 10, q = -2. Najděte čtvrtý prvek postupu.

Řešení: pro to stačí vyjádřit čtvrtý prvek skrze první a prostřednictvím jmenovatele.

a₄ = q³middot-a₁ = -80

Příklad aplikace:

• Klient banky přispěl k částce 10 000 rublů, za podmínek, které každý rok klientovi na částku jistiny bude přidáno 6% z toho. Kolik peněz bude na účtu za 4 roky?

Rozhodnutí: Počáteční částka je 10 tisíc rublů. Proto rok po uložení bude částka rovnající se 10 000 + 10 000middot-0,06 = 10000 middot - 1,06

Proto bude částka na účtu v jiném roce vyjádřena takto:

(10000 middot- 1,06) middot - 0,06 + 10,000 střední hodnota 1,06 = 1,06 middot - 1,06 middot- 10000

To znamená, že každý rok se částka zvyšuje o 1,06krát. Takže za účelem zjištění výše finančních prostředků na účtu za 4 roky stačí najít čtvrtý prvek postupu, který je stanoven prvním prvkem 10 000 a jmenovatelem 1,06.

S = 1,06middot-1,06middot-1,06middot-1,06middot-10000 = 12625

Příklady úkolů pro výpočet součtu:

Při různých problémech se používá geometrická progrese. Příklad nalezení součtu lze specifikovat takto:

a₁ = 4, q = 2, vypočítat S₅.

Řešení: veškerá data potřebná pro výpočet jsou známa, stačí je nahradit ve vzorci.

S₅= 124

• a₂ = 6, a₃ = 18. Vypočítejte součet prvních šesti prvků.

Řešení:

V geom. postup, každý další prvek je větší než předchozí v q časech, tj. pro výpočet součtu, je nutné znát prvek a₁ a jmenovatelem q.

a₂middot-q = a₃

q = 3

Stejně tak je třeba najít a₁, vědět a₂ a q.

a₁middot-q = a₂

a₁ = 2

A ještě dost nahradit známé údaje ve vzorci sumy.

S_6.= 728.