Jaká je tečna kruhu? Vlastnosti tangenty kružnice. Společná tečna ke dvěma kružnicím

Seks, dotyky - to vše stovkykrát jste slyšeli v lekci geometrie. Ale absolvování školní docházky, absolvování let, a všechny tyto znalosti jsou zapomenuty. Co si pamatuji?

Esence

Pojem "dotyčnice k okruhu" je všem znám, pravděpodobně. Ale sotva každý bude schopen rychle formulovat jeho definici. Mezitím tečna je přímka ležící v jedné rovině s kruhem, který ji protíná jen na jednom místě. Může jich být obrovské množství, ale všechny mají stejné vlastnosti, které budou popsány níže. Není těžké odhadnout, že bod dotyku je místo, kde se kruh a linie protínají. V každém případě je to jedno, ale jestliže existuje více, pak bude již sekanční.

Dějiny objevu a studia

Koncept tečny se objevil ve starověku. Konstrukce těchto řádků k prvnímu kruhu, a pak do elipsy, paraboly a hyperbolas s pravítkem a kompasem se konala ještě v raných fázích vývoje geometrie. Samozřejmě, že historie nedochovala jméno objevitele, ale je jasné, že i v té době byli lidé dobře známy vlastnosti tečně ke kružnici.

V novodobých dobách se zájem o tento jev ještě zvětšil - nové kolo studia tohoto pojetí začalo ve spojení s objevováním nových křivek. Takže Galileo představil koncept cykloidu a Fermat a Descartes postavili na něj tečnu. Co se týče kruhů, zdá se, že i pro starce nebylo v této oblasti žádné tajemství.

Vlastnosti

Poloměr nakreslený v průsečíku bude je kolmá na přímku. To je základní, ale nikoli jediná vlastnost, která má kružnici tečnou. Další důležitou vlastností jsou dvě přímé linie. Takže skrze jeden bod, ležící mimo kruh, můžete nakreslit dvě tečny a jejich segmenty budou stejné. Existuje ještě jedna teorém o tomto tématu, nicméně se zřídka koná v rámci standardního školního kurzu, i když je velmi vhodný pro řešení některých problémů. Zní to takhle. Z jediného bodu, který se nachází mimo kruh, se k němu přitahuje dotyková a sekaná. Jsou tvořeny segmenty AB, AC a AD. A je průsečík linií, B je bod dotyku, C a D jsou křižovatky. V tomto případě bude platná následující rovnost: délka tečny kruhu, čtvercová, bude rovna výsledku segmentů AC a AD.

Z výše uvedeného je důležitý důsledek. Pro každý bod kruhu můžete vytvořit tangentu, ale pouze jednu. Důkazem toho je celkem jednoduché: teoreticky klesání kolmice z poloměru zjistíme, že vytvořený trojúhelník nemůže existovat. A to znamená, že tečna je jedinečná.

Budování

Mezi další problémy v geometrii patří zvláštní kategorie, zpravidla ne milující žáky a studenty. Chcete-li vyřešit úkoly z této kategorie, je zapotřebí pouze kompas a pravítko. Jedná se o stavební úkoly. Tam jsou a konstrukce tangenty.

Vzhledem k kruhu a bodu ležícímu mimo jeho hranice. A je třeba je tangentovat. Jak je možné to udělat? Nejprve musíme nakreslit segment mezi středem kruhu O a daným bodem. Potom pomocí kompasu byste ji měli rozdělit na polovinu. Chcete-li to provést, musíte zadat poloměr - jen přes polovinu vzdálenosti mezi středem původní kružnice a daným bodem. Poté potřebujeme konstruovat dva protínající se oblouky. A poloměr kompasu není nutné měnit a střed každé části kruhu je počáteční bod a O. Průsečíky oblouků musí být spojeny, což rozdělí segment na polovinu. Nastavte poloměr rovný této vzdálenosti na kompasu. Dále se středem v průsečíku vytvořte další kruh. Bude obsahovat jak originální bod, tak O. V daném problému budou dvě křižovatky s daným kruhem. Budou to body dotyku pro původně zadaný bod.

Zajímavé

Byla to konstrukce dotyčnic do kruhu, který vedl k narození diferenciální počet. První práce na tomto tématu vyšla známý německý matematik Leibniz. Předpokládal možnost nalezení maxim, minima a dotyků, bez ohledu na frakční a iracionální hodnoty. No, teď se používá pro mnoho dalších výpočtů.

Navíc tečna kružnice souvisí s geometrickým významem tečny. Z toho pochází jeho jméno. V překladu z latinských tangens - "tangent". Tento koncept je tedy spojen nejen s geometrií a diferenciálním číslem, ale také s trigonometrií.

Dvě kruhy

Ne vždy tangent ovlivní pouze jednu postavu. Je-li obrovský počet přímých čar přitažen k jednomu kruhu, pak proč ne naopak? Můžete. To je jen problém v tomto případě je vážně komplikovaný, protože dotyčnice na dva kruhy nemohou projít žádnými body a vzájemné uspořádání všech těchto postav může být velmi různé.

Typy a odrůdy

Když přijde na dva kruhy a jeden nebo více řádků, pak, i když víte, že je to asi není bezprostředně jasné, jak všechny tyto kousky jsou uspořádány ve vztahu k sobě navzájem. Na tomto základě rozlišujeme několik odrůd. Takže kruhy mohou mít jeden nebo dva společné body nebo je vůbec nemají. V prvním případě se protínají a ve druhém dotyku. A zde rozlišujeme dvě odrůdy. V případě jednoho kruhu, protože byly zakotveny v druhé, dotyková se nazývá vnitřní pokud ne - pak ven. Porozumět relativní postavení kamenů nemůže být založena pouze na výkrese, ale mají informaci o součet jejich poloměrů a vzdálenost mezi jejich středy. Pokud jsou tato dvě množství stejná, kroužky se dotknou. Pokud je první více - protínají, a pokud je méně - pak nemají společné body.

Tak to je s přímkami. U dvou kruhů, které nemají společné body, je možné
vytvořte čtyři dotyky. Dva z nich se mezi těmito postavami prolíná, nazývají se vnitřními. Několik dalších je vnější.

Pokud mluvíme o kruzích, které mají jeden společný bod, pak je úkol vážně zjednodušen. Faktem je, že pro případné vzájemné uspořádání v tomto případě má tečna pouze jednu. A bude procházet bodem jejich křižovatky. Takže konstrukce obtížnosti nebude způsobovat.

Pokud mají číslice dvě průsečíky, pak může být pro ně postavena přímka tangenta kruhu, a to jak jedna, tak druhá, ale pouze vnější. Řešení tohoto problému je podobné tomu, co bude řečeno později.

Řešení problémů

Jak vnitřní, tak vnější tečny ke dvěma kružnicím v konstrukci nejsou tak jednoduché, i když je tento problém řešitelný. Faktem je, že pro toto je použita pomocná postava, abyste sami mohli tuto metodu přijít je poměrně problematické. Tak jsou uvedeny dvě kružnice s různými poloměry a středy O1 a O2. Pro ně potřebujeme postavit dva páry dotyků.

Nejprve v blízkosti středu většího kruhu musíme vytvořit pomocný. V tomto případě by měl být rozdíl mezi poloměry dvou původních čísel stanoven na kompasu. Ze středu menšího kruhu jsou vytvořeny dotyky k pomocnému kruhu. Poté, od O1 a O2, kolmo k těmto přímkám jsou provedeny před překročením původních čísel. Jak vyplývá z základní vlastnosti tangenty, nalezneme požadované body na obou kružnicích. Problém je vyřešen alespoň v první části.

Pro konstrukci vnitřních tepen je nutné prakticky vyřešit podobný problém. Opět potřebujeme pomocnou postavu, ale tentokrát se její poloměr bude rovnat součtu původních. K těmto kružnicím jsou vytvořeny dotyky. Další průběh řešení lze pochopit z předchozího příkladu.

Tečna do kruhu nebo dokonce dvou nebo více není tak obtížným úkolem. Samozřejmě, matematici již dlouho vyřešili tyto problémy ručně a věřili výpočty do speciálních programů. Ale nemyslete si, že teď to nemusíte dělat sami, protože správně formulovat úkoly pro počítač musíte udělat hodně a pochopit. Bohužel existují obavy, že po konečném přechodu na testovací formu řízení znalostí budou stavební úkoly způsobovat studentům stále větší potíže.

Pokud jde o nalezení společných dotyků pro více kruhů, není to vždy možné, i když jsou ve stejné rovině. Ale v některých případech můžete najít takovou přímku.

Příklady ze života

Společná tečna ke dvěma kružnicím se často vyskytuje v praxi, i když to není vždy patrné. Dopravníky, blokové systémy, převodové pásy řemenic, napínání nití v šicím stroji a dokonce i jen řetězec jízdních kol jsou příklady ze života. Takže si nemyslete, že geometrické problémy zůstávají teoreticky: v oblasti strojírenství, fyziky, stavebnictví a mnoha dalších oblastech jsou praktické.