Definice a velikost Grahamova čísla

Při slově "nekonečno" má každá osoba své vlastní sdružení. Mnoho z nich čerpá svou představivost moře, které jde za obzorem, zatímco jiné mají před svými očimi obraz nekonečné hvězdné oblohy. Nekonečno matematiky, kteří jsou zvyklí pracovat s čísly, se liší jinak. Pokoušejí se po mnoho staletí najít největší množství fyzikálních veličin potřebných pro měření. Jedním z nich je Grahamovo číslo. Kolik nul v něm a pro co se používá, tento článek poví.

Nekonečně velké číslo

V matematice je tzv. Proměnná x_n, jestliže pro libovolné předem přiřazené kladné číslo M lze určit přirozené číslo N takže pro všechna čísla n větší než N, nerovnost | x_n| |. | > M. Žádný, například, celé číslo Z nemůže být považován za nekonečně velký, protože bude vždy menší než (Z + 1).

Několik slov o "obrazech"

Největší čísla, která mají fyzický význam, jsou považována za:

• 10⁸⁰. Toto číslo, které se běžně nazývá quinquivigillillion, označuje přibližný počet kvarků a leptonů (drobných částic) ve vesmíru.
• 1 Gugol. Takové číslo v desítkové soustavě je zapsáno jako jednotka se 100 nulami. Podle některých matematických modelů, od velkého třesku, před výbuchem masivní černé díry by mělo jít od 1 do 1,5 googol let, po kterém náš vesmír vstupuje do poslední fáze své existence, tj. E. Lze předpokládat, že tento počet je fyzická význam.
• 8,5 x 10¹⁸⁵. Planckova konstanta je 1,616199 x 10^-35 m, tj. v desítkové notaci to vypadá jako 0.00000000000000000000000000000616199 m. V 1 metru krychlový. tam je asi 1 googol Planck délka. Odhaduje se, že v celém našem vesmíru se může vejít asi 8,5 x 10¹⁸⁵ Planck délky.
• 2^{77 232 917} - 1. Toto je největší ze známých prvočísel. Pokud je jeho binární záznam poměrně kompaktní, pak jej za účelem zobrazení v desítkové formě bude trvat nejméně 13 milionů znaků. Bylo nalezeno v roce 2017 v rámci projektu najít čísla Mersenne. Pokud nadšenci bude i nadále pracovat v tomto směru, se současnou úrovní rozvojem výpočetní techniky, je nepravděpodobné, že najít Mersenne primární více objednat v blízké budoucnosti než 2^{77 232 917} - 1, ačkoli takový šťastný člověk dostane 150 000 dolarů.
• Hugoplex. Zde vše vezměte 1 a přidávejte po něm nuly v množství 1 googol. Toto číslo můžete zapsat jako 10 ^ 10 ^ 100. V desítkové soustavě je nemožné popsat, jako by celý prostor vesmíru vyplnit listy papíru, z nichž každý je od 0 do velikosti „vordovsky“ písmo 10, a v tomto případě již bylo napsáno by bylo dosaženo pouze polovinu veškerého 0: 1 pro čísla Googolplex .
• 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. Toto je číslo udávající počet let, během kterých podle teorém Poincare Náš vesmír v důsledku náhodných kvantových kmitů se vrátí do stavu, který se blíží dnešní době.

Jak se objevily čísla Grahama

V roce 1977, slavný propagátor vědy Martin Gardner v časopise Scientific American publikoval poznámku o Grahamově důkazu jednoho z problémů teorie Ramsay. V tom jmenoval hranici, kterou stanovil vědec, největší počet, který kdy byl použit ve vážných matematických úvahách.

Kdo je Ronald Lewis Graham

Vědec, který je již přes 80 let, se narodil v Kalifornii. V roce 1962 získal Ph.D. v matematice v Brně Univerzita v Berkeley. Již 37 let pracoval v Bellově laboratoři a později se přestěhoval do laboratoří ATT. Vědec aktivně spolupracoval s jedním z největších matematiků 20. století Paloma Erdeshem a je laureátem mnoha prestižních ocenění. Ve vědecké bibliografii Grahama existuje více než 320 vědeckých prací.

V polovině sedmdesátých let se vědec zajímal o problém spojený s teorií Ramseye. S jeho důkazem byla stanovena horní hranice roztoku, což je velmi velké množství, následně pojmenované podle Ronalda Grahama.

Hypercube problém

Abyste pochopili podstatu čísla Grahama, musíte nejprve pochopit, jak byl přijat.

Vědec a jeho kolega Bruce Rothschild se zabývali následujícím problémem:

• K dispozici je n-dimenzionální hypercube. Všechny páry vrcholů jsou připojeny tak, aby kompletní graf s 2ⁿ vrcholy. Každý z jeho okrajů je barevný buď modře nebo červeně. Bylo nutné zjistit, co nejmenší počet vrcholů by mělo být v hypercube, takže každé takové zbarvení obsahovalo úplný jednobarevný subgraf se 4 vrcholy ležícími v jedné rovině.

Řešení

Graham a Rothschild prokázáno, že tento problém je řešení Nrsquo-, splňující 6 ⩽ Nrsquo- ⩽N kde N - je přesně definované, velmi vysoký počet.

Spodní hranice pro N byla následně ověřena jinými výzkumníky ukázaly, že N by měl být větší než nebo rovna 13. To znamená, že výraz pro nejmenším počtem vrcholů hyperkrychli splňuje podmínky uvedené výše, získaná od 13 ⩽ Nrsquo-⩽ N.

Výstupní notace Knuth

Dříve než dáte definice Graham by měli být obeznámeni s tím, jak se jeho postava reprezentace, protože žádný desítkové nebo binární notace pro to je naprosto nevhodné.

V tuto chvíli reprezentujeme tuto hodnotu, je obvyklé používat označení Knutha pro šipky. Podle ní:

a^b= "šipka nahoru" b.

Pro operaci více exponenciace byl vložen záznam:

šipka nahoru "šipka nahoru" b = a^b= "věž sestávající z a v množství b kusů."

A pro penta, tedy pro symbolické označení převzetí předchozího operátora, použil Knut tři šipky.

Použitím této možnosti pro číslo Grahama máme sekvence "šipky", vnořené do sebe, v počtu 64 kusů.

Zvětšení

Jeho známý číslo, které vzrušuje představivost a rozšiřuje hranice lidské mysli, přinášet to za vesmíru, Graham a jeho kolegové, že jej obdržel jako horní limit pro počet N v důkazu problémů hypercube výše uvedených. Uvědomit si, jak velký je jeho měřítko pro obyčejného člověka, je nesmírně obtížné.

Otázka o počtu znaků, nebo jak to je někdy mylně říká, že má nul v počtu podílů Grahama téměř každý, kdo poprvé slyší o této veličiny.

Stačí, když řekneme, že se jedná o rychle se rozvíjející posloupnost, která se skládá ze 64 členů. Dokonce ani jeho první termín nelze představit, protože se skládá z n "věží" sestávajících z 3-k. Již jeho „přízemní“ 3 trojic je 7 625 597 484 987, t. E. Více než 7 miliard, abyste se ujistili o 64. patra (nečleny!). Není tedy možné přesně říct, jaké Grahamovo číslo je stejné, protože pro jeho výpočet nejsou dostatečné kombinované kapacity všech počítačů existujících na Zemi.

Je záznam zlomený?

Při prokázání Kruskalovy věty bylo Grahamovo číslo "propuštěno z podstavce". Vědec navrhl následující úkol:

• Existuje nekonečná sekvence konečných stromů. Kraskal prokázal, že tam vždy existuje část nějakého grafu, který je zároveň součástí většího grafu a jeho přesné kopie. Toto tvrzení nevyvolává žádné pochybnosti, jelikož je zřejmé, že v nekonečnu se vždy nachází přesně opakující se kombinace.

Později Harvey Friedman poněkud zúžil tento problém tím, že zvažuje pouze ty acyklické grafy (stromy), které jsou specifické pro koeficientu i není větší než (i + k) vrcholů. Ten se rozhodl zjistit, jaký by měl být počet acyklických grafů, které s touto metodou problém můžete vždy najít podstromu, který by investoval do dalšího stromu.

V důsledku výzkumu této problematiky bylo zjištěno, že N, v závislosti na k, roste obrovskou rychlostí. Konkrétně, jestliže k = 1 pak N = 3. Nicméně pro k = 2, N už dosáhne 11. Nejzajímavějším začátkem je k = 3. V tomto případě N rychle "vyrazí" a dosáhne hodnoty, která mnohonásobně přesáhne Grahamovo číslo. Chcete-li si představit, jak je to skvělé, stačí zapsat číslo vypočtené Ronaldem Grahamem jako G64 (3). Pak hodnota Friedmann-Kruskal (FinKraskal (3)) bude mít pořadí G (G (187196)). Jinými slovy, mega-magnitudnost, která je nekonečně více než nepředstavitelně velké množství Grahama. Současně je dokonce i obrovský počet krát menší než nekonečno. O tomto pojetí má smysl hovořit podrobněji.

Infinity

Nyní, když jsme vysvětlili, co je Grahamovo číslo na vašich prstech, musíte pochopit význam, který byl vložen do tohoto filosofického pojetí. Koneckonců, "nekonečno" a "nekonečně velké číslo" v určitém kontextu lze považovat za totožné.

Největší příspěvek ke studiu této otázky provedl Aristotel. Velký myslitel starověku rozdělil nekonečno na potenciální a skutečný. Pod tím posledním mluvil skutečnost existence nekonečných věcí.

Podle Aristotla jsou zdroje představy o tomto základním pojetí:

• čas;
• oddělení množství;
• koncept hranice a existenci něčeho mimo své hranice;
• nevyčerpatelnost tvůrčí povahy;
• myšlení, které nemá žádné omezení.

V moderní interpretaci pro nekonečno neexistuje žádné kvantitativní opatření, takže hledání největšího počtu může pokračovat navždy.

Závěr

Je možné vzít v úvahu metaforu "Podívej se do nekonečna" a Grahamovo číslo v jistém smyslu synonymum? Spíše ano a ne. Obě je nemožné si představit, dokonce i s nejsilnější představivostí. Nicméně, jak již bylo řečeno, nemůže být považováno za "nejvíce, nejvíce". Jinou věcí je, že v okamžiku, kdy hodnoty větší než Grahamovo číslo nemají zavedený fyzický význam.

Navíc nemá takové vlastnosti nekonečného čísla jen, jako:

• infin- + 1 = infin;
• existuje nekonečné množství lichých i sudých čísel;
• infin- - 1 = infin;
• počet lichých čísel je přesně polovina všech čísel;
• infin- + infin- = infin;
• infin- / 2 = infin-.

Shrnutí: samotné číslo Grahama velké číslo v praxi matematického důkazu, podle Guinnessovy knihy rekordů. Existují však čísla, která jsou mnohokrát vyšší než tato hodnota.

S největší pravděpodobností v budoucnu bude potřeba více „obři“, a to zejména v případě, že člověk půjde mimo naši sluneční soustavu, nebo vymyslet něco nepředstavitelné na současné úrovni našeho vědomí.