Deriváty čísel: metody výpočtu a příklady

Pravděpodobně je pojem derivát znám každý z nás ze školy. Studenti obvykle mají potíže s porozuměním, což je nepochybně velmi důležitá věc. Aktivně se používá v různých oblastech lidských životů a mnoho inženýrských vývojů je založeno na matematických výpočtech získaných pomocí derivátu. Ale než začneme analyzovat, jaké jsou deriváty čísel, jak je vypočítat a kde budou pro nás užitečné, trochu se ponořte do historie.

Historie

Pojem derivát, který je základem matematické analýzy, bylo otevřeno (i lépe řečeno „vynalezl“, protože to je, jako taková, neexistuje v přírodě), Isaac Newton, který všichni známe z objevu gravitační zákon. Byl to on, kdo poprvé použil tento koncept fyziky pro závaznosti rychlosti a zrychlení těles. A mnozí vědci stále chválit Newtona pro tento velkolepý vynálezu, protože ve skutečnosti vymyslel základ diferenciálního a integrálního počtu, skutkového základu celého oboru matematiky zvané „matematická analýza“. Ať už tehdy Nobelovu cenu, Newton by s největší pravděpodobností dostal několikrát.

Ne bez ostatních velkých myslí. Vedle Newtonu se na vývoji derivátu a integrálu podíleli takoví vynikající géniové matematiky jako Leonard Euler, Louis Lagrange a Gottfried Leibniz. Díky tomu jsme dostali teorii diferenciální počet ve formě, v níž existuje dodnes. Mimochodem, to je Leibniz objevil geometrické význam derivátu, který byl nic víc, než je sklon tangenty ke grafu funkce.

Jaké jsou odvozená čísla? Opakujeme trochu to, co prošlo ve škole.

Co je derivát?

Tento pojem můžete definovat několika různými způsoby. Nejjednodušší vysvětlení: derivát je rychlost změny funkce. Reprezentujeme graf některé funkce y z x. Pokud to není rovno, pak má v grafu nějaké zatáčky, období zvyšování a klesání. Pokud vezmeme nekonečně malý interval tohoto grafu, bude to přímočarý segment. Tak, že poměr velikosti nekonečně segmentu y k velikosti souřadnice x, a bude derivát funkce v daném bodě. Pokud budeme chápat funkci jako celek a nikoliv v určitém bodě, získáme funkci derivátu, tedy určitou závislost hry na x.

Kromě toho kromě toho fyzický význam derivátu protože rychlost změny funkce je také geometrický význam. O něm teď mluvíme.

Geometrický význam

Deriváty čísel samy o sobě představují určitý počet, který bez řádného pochopení nemá smysl. Ukazuje se, že derivát nejen ukazuje rychlost růstu nebo poklesu funkce, ale také tečnu úhlu sklonu tečny k grafu funkce v daném bodě. Není zcela jasná definice. Podívejme se na to podrobněji. Předpokládejme, že máme graf funkce (pro zájem, pojďme křivku). Má nekonečný počet bodů, ale existují oblasti, kde má pouze jeden bod maximum nebo minimum. Prostřednictvím tohoto bodu můžete nakreslit čarou, která je kolmá na graf funkce v daném okamžiku. Taková čára bude nazývána tečkou. Předpokládejme, že jsme ji spustili k průsečíku s osou OX. Takže úhel mezi tečkou a osou OX bude určen derivátem. Nebo spíše, dotyčnice tohoto úhlu se jí rovnají.

Promluvme si o konkrétních případech a analyzujeme odvozená čísla.

Zvláštní případy

Jak jsme již uvedli, deriváty čísel jsou hodnoty derivátu v určitém bodě. Proveďte například funkci y = x². Derivát x je číslo a ve všeobecném případě funkce rovnající se 2 x. Pokud potřebujeme vypočítat derivát, řekněme, v bodě x₀= 1, pak získáme y `(1) = 2 * 1 = 2. Je to velmi jednoduché. Zajímavým případem je derivát komplexní číslo. Nebudeme jít do podrobného vysvětlení toho, co je složité číslo. Řekněme, že je to číslo, které obsahuje takzvanou imaginární jednotku - číslo, jehož čtverec je -1. Výpočet takového derivátu je možný, pouze pokud jsou splněny následující podmínky:

1) Musí existovat dílčí deriváty prvního řádu z reálných a imaginárních částí hry a v x.

2) Podmínky Cauchy-Riemann spojené s rovností dílčích derivátů popsané v prvním odstavci jsou splněny.

Další zajímavý případ, i když ne tak složitý jako předchozí, je derivát negativního čísla. Ve skutečnosti může být libovolné negativní číslo reprezentováno jako kladné, vynásobené hodnotou -1. Ale derivát konstanty a funkce se rovná konstantě vynásobené derivátem funkce.

Bude zajímavé dozvědět se o roli derivátu v každodenním životě a to je to, o čem nyní diskutujeme.

Aplikace

Pravděpodobně každý z nás, alespoň jednou v životě, se zachycuje tím, že si myslí, že matematika je pro něj sotva užitečná. A tak složitá věc jako derivát pravděpodobně nemá žádnou žádost. Ve skutečnosti je matematika základní vědou a všechno její plody jsou rozvíjeny především fyzikou, chémií, astronomií a dokonce i ekonomikou. Derivát označil začátek matematická analýza, což nám dalo příležitost vyvodit závěry z grafů funkcí a naučili jsme se interpretovat zákony přírody a díky němu je přeměňovat ve své prospěch.

Závěr

Samozřejmě, že každý nemusí potřebovat derivát v reálném životě. Ale matematika rozvíjí logiku, což jistě bude zapotřebí. Není to nic, co se matematika nazývá královnou věd: tvoří základ pro pochopení dalších oblastí znalostí.