Body extrému funkce. Jak najít extrémní body. Součet extrémních bodů

Důležitým pojmem v matematice je funkce. S jeho pomocí můžete vizualizovat mnoho procesů vyskytujících se v přírodě, odrážejí pomocí vzorce, tabulek a obrázků na grafu vztah mezi určitými hodnotami. Příkladem je závislost tlaku kapalné vrstvy na těle na hloubce ponoření, zrychlení - z působení na objekt určité síly, zvýšení teploty - z přenášené energie a mnoho dalších procesů. Studium funkce předpokládá konstrukci grafu, objasnění jeho vlastností, oblast definice a hodnot, intervaly zvýšení a poklesu. Důležitým bodem v tomto procesu je nalezení extrémních bodů. O tom, jak to udělat správně, a půjde o další rozhovor.

Na samotném pojetí konkrétního příkladu

V medicíně může vykreslení funkce vysvětlit průběh onemocnění v těle pacienta a vizuálně odrážet jeho stav. Předpokládejme, že časová osa je vynesena podél osy OX a teplotu lidského těla podél osy OY. Obrázek jasně ukazuje, jak tento ukazatel prudce stoupá a pak klesá. Není také obtížné si všimnout zvláštních bodů, které odrážejí okamžiky, kdy se funkce, která začíná zvyšovat, začíná snižovat a naopak. Jedná se o extrémní body, tj. O kritické hodnoty (maximální a minimální) v tomto případě o teplotu pacienta, po které nastávají změny ve svém stavu.

Úhel sklonu

Z obrázku lze snadno zjistit, jak se derivát funkce změní. Pokud se přímé čáry grafu posunou v průběhu času, pak je to pozitivní. A čím prudší jsou, tím důležitější je derivát, protože se zvyšuje úhel sklonu. V době poklesu má tato hodnota záporné hodnoty, v extrémních bodech se změní na nulu a derivační graf v posledním případě je vynesen rovnoběžně s osou OX.

Jakýkoli jiný proces by měl být zpracován podobným způsobem. Ale nejlepším způsobem, jak spojit tento koncept, je říct pohyb různých těles, graficky znázorněných na grafech.

Pohyb

Předpokládejme, že určitý objekt se pohybuje podél přímky, rovnoměrně sbírající rychlost. Během tohoto období změna v souřadnici těla graficky představuje jistou křivku, kterou matematik nazve větev paraboly. V tomto případě se funkce neustále zvyšuje, protože souřadnice souřadnic se mění každou sekundu stále rychleji. Rychlostní graf ukazuje chování derivátu, jehož hodnota se také zvyšuje. Takže hnutí nemá žádné kritické body.

Bude pokračovat neomezeně. Pokud se však tělo náhle rozhodne brzdit, zastaví se a začne se pohybovat v opačném směru? V tomto případě se začnou snižovat souřadnice. A funkce bude procházet kritickou hodnotou a ze zvýšení se změní na klesající.

Z tohoto příkladu lze opět chápat, že extrémní body na grafu funkce se objevují v časech, kdy přestává být monotónní.

Fyzický význam derivátu

Popsané dříve jasně ukázaly, že derivát je v podstatě míra změny funkce. V této specifikaci a její fyzikální význam je uzavřen. Extrémní body jsou kritické oblasti grafu. Mohou být zjištěny a zjištěny výpočtem hodnoty derivátu, který se ukáže být nulový.

Existuje další znamení, které je podmínkou pro extrém. Derivát v místech skloňování mění své označení: „+“ na „-“ v oblasti vysokého a „-“ na „+“ v blízkosti minimum.

Pohyb pod vlivem gravitace

Představme si ještě jednu situaci. Děti, které hrají na míč, hodily tak, že se začalo pohybovat pod úhlem k obzoru. V počáteční okamžité rychlosti objektu byl největší, ale pod vlivem gravitace začala klesat, a každý druhý pro stejnou velikost asi 9,8 m / s,². Toto je hodnota zrychlení vzniklého vlivem zemské gravitace při volném pádu. Na Měsíci by to bylo asi šestkrát menší.

Graf popisující pohyb těla je parabola s větvemi směřujícími dolů. Jak najít extrémní body? V tomto případě je to vrchol funkce, kde rychlost těla (míč) má nulovou hodnotu. Odvození funkce se stává nulovým. V tomto případě je směr a následně rychlost obráceny. Tělo letí každou sekundu rychleji a zrychluje se o stejné množství - 9,8 m / s².

Druhý derivát

V předchozím případě je graf rychloměru vykreslen jako přímka. Tato řada je nejprve směrována směrem dolů, protože hodnota tohoto množství se neustále snižuje. Po dosažení nuly v jednom okamžiku se začnou zvyšovat ukazatele této velikosti a směr grafického obrazu modulu rychlosti se radikálně změní. Nyní je čára směrována nahoru.

Rychlost, která je derivátem časové koordinace, má také kritický bod. V této oblasti začne funkce zpočátku klesat. To je bod extrému derivace funkce. V tomto případě se úhel sklonu tečny stává nulovým. A zrychlení, jelikož je druhým derivátem časové souřadnice, změní jeho znaménko z ";" na "+". A pohyb ze stejného poměru se rovnoměrně zrychluje.

Graf zrychlení

Nyní zvažte čtyři čísla. Na každém z nich je zobrazen graf změny fyzické veličiny, jako je zrychlení, v průběhu času. V případě "A" zůstává jeho hodnota kladná a konstantní. To znamená, že rychlost těla, stejně jako její souřadnice, se neustále zvyšuje. Představíme-li si, že objekt se bude pohybovat tímto způsobem do nekonečna, funkce, které odrážejí závislost souřadnic času, bude stále větší. Z toho vyplývá, že nemá kritické oblasti. Extrémní body na grafu derivátu, tj. Lineárně se měnící rychlost, také chybí.

Totéž platí pro případ "B" s pozitivním a neustále rostoucím zrychlením. Je pravda, že grafy pro souřadnice a rychlost zde budou poněkud komplikovanější.

Když zrychlení má tendenci k nule

Vzhledem k výkresu "B" můžete pozorovat velmi odlišný obrázek charakterizující pohyb těla. Jeho rychlost bude graficky reprezentována parabolou s větvemi směřujícími dolů. Budeme-li pokračovat v linii, která popisuje změny zrychlení až k jejímu průsečíku s osou x, a dále, že je možné si představit, že před kritickou úroveň, kde bude zrychlení rovnat nule, rychlost objektu zvýší ještě pomaleji. derivát extrém bod z funkcí souřadnic by být jen na vrcholu paraboly, přičemž tělo dramaticky měnit charakter pohybu a začne se pohybovat v opačném směru.

V druhém případě "G" nelze přesně určit povahu pohybu. Zde je pouze známo, že během určitého sledovaného období nedošlo k akceleraci. Takže objekt může zůstat na svém místě nebo se pohyb pohybuje konstantní rychlostí.

Úloha přidání souřadnic

Přejdeme k úkolům, které se často vyskytují při studiu algebry ve škole, a jsou nabízeny k přípravě na USE. Níže uvedený obrázek ukazuje funkční graf. Je třeba vypočítat součet extrémních bodů.

Děláme to pro osy osy, určující souřadnice kritických oblastí, kde je pozorována změna charakteristik funkce. Jednoduše řečeno, nacházejí se hodnoty podél osy OX pro inflexní body a potom pokračujeme k přidání získaných termínů. Z grafu je zřejmé, že berou tyto hodnoty: -8- -7- -5- -3- -2- 1- 3. Celkem to odpovídá -21, což je odpověď.

Optimální řešení

Není nutné vysvětlovat, jak důležité je při realizaci praktických úkolů vybrat optimální řešení. Koneckonců, existuje mnoho způsobů, jak dosáhnout cíle, a nejlepší cesta ven je spravidla jedna. To je mimořádně nezbytné, například při návrhu lodí, kosmických lodí a letadel, architektonických struktur, aby se našla optimální forma těchto umělých předmětů.

Rychlost vozidla do značné míry závisí na příslušné informace pro minimalizaci odporu s nimiž se setkávají při pohybu ve vodě a ve vzduchu, z přetížení dochází pod vlivem gravitačních sil, a mnoho dalších ukazatelů. Loď na moři potřebuje takové vlastnosti jako stabilita během bouře, minimální ponor je důležitý pro říční loď. Při výpočtu optimální konstrukce mohou extrémní body na grafu jasně představit nejlepší řešení komplexního problému. Úkoly takového plánu jsou často řešeny v ekonomice, v hospodářských oblastech, v řadě dalších životních situací.

Z dávné historie

Problémy pro extremum obsadily i starověké mudrci. Řečtí vědci úspěšně rozvedli tajemství oblastí a objemů prostřednictvím matematických výpočtů. Byli to první, kdo pochopili, že v rovině různých postav se stejným obvodem má největší plocha vždy kruh. Podobně je míč dotován maximálním objemem mezi zbývajícími objekty v prostoru se stejnou velikostí povrchu. Takové vynikající osobnosti jako Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius se věnují řešením těchto problémů. Hledání extrémních bodů bylo naprosto možné pro Geronu, která se uchýlila k výpočtu, postavila si mazaně. Ty zahrnovaly automatické stroje, pohybující se parou, pracující na stejném principu čerpadla a turbíny.

Výstavba Kartága

Existuje legenda, jejíž spiknutí je postaveno na řešení jednoho z extrémních problémů. Výsledek podnikatelského přístupu, který demonstrovala fénická princezna, která žádala o pomoc mudrcům, byla budova Kartága. Zem pro toto starobylé a slavné město představil Didon (jméno panovníka) vedoucímu jednoho z afrických kmenů. Rozsah přidělení se mu nejdříve nezdálo příliš velký, neboť na základě smlouvy měla být pokryta hovězí kůží. Ale princezna nařídila vojákům, aby je rozřezali na tenké proužky a aby z nich vytáhli pás. Ukázalo se, že je tak dlouhá, že pokrývala místo, kde do něj zapadá celé město.

Počátky matematické analýzy

A teď se budeme pohybovat od starověku k pozdější době. Je zajímavé, že pochopení základů matematické analýzy vedlo Keplera v 17. století k setkání s prodávajícím vína. Obchodník měl ve své profesi takovou znalost, že může snadno zjistit objem nápoje v sudu, a jednoduše upustil železný turniket. Při pohledu na tuto zvědavost se slavný vědec podařilo vyřešit pro sebe toto dilema. Ukazuje se, že dovední boccary těch časů dokázaly vyrobit nádoby takovým způsobem, aby v určité výšce a poloměru kroužku upevňovacích kroužků měly maximální kapacitu.

To se pro Keplera stalo příležitostí pro další reflexi. Bochary dospělo k optimálnímu řešení metodou dlouhého hledání, chyb a nových pokusů, předávání zkušeností z generace na generaci. Ale Kepler chtěl urychlit proces a naučit se udělat v krátké době matematické výpočty. Veškeré jeho vývoje, vzaté kolegy, se změnily v nyní známé věty Fermat a Newton-Leibniz.

Úkolem nalezení maximální plochy

Představte si, že máme drát, jehož délka je 50 cm. Jak vyrobit z něj obdélník s největší plochou?

Spuštění řešení by mělo vycházet z jednoduchých a známých pravd. Je zřejmé, že obvod naší postavy bude 50 cm, ale také se zdvojnásobí délky obou stran. To znamená, že když jeden z nich označil za "X", druhý může být vyjádřen jako (25 - X).

Proto získáme plochu rovnou X (25 - X). Tento výraz může být reprezentován jako funkce, která přebírá soubor hodnot. Řešení problému vyžaduje nalezení maximálního počtu, a proto je nutné najít extrémní body.

Abychom toho dosáhli, nalezneme první derivaci a rovnotíme ji na nulu. Výsledkem je jednoduchá rovnice: 25 - 2X = 0.

Z toho se dozvídáme, že jedna ze stran X = 12,5.

Proto další: 25 - 12,5 = 12,5.

Ukázalo se, že řešení problému bude mít čtverec se stránkou 12,5 cm.

Jak najít maximální rychlost

Zvažme ještě jeden příklad. Představme si, že existuje tělo, jehož přímočarý pohyb je popsán rovnicí S = - t³ + 9t² - 24t - 8, kde ujetá vzdálenost je vyjádřena v metrech a čas v sekundách. Je nutné najít maximální rychlost. Jak to udělat? Načteno najděte rychlost, tedy první derivát.

Získáme rovnici: V = - 3t² + 18t - 24. Nyní k řešení problému musíme opět najít extrémní body. To musí být provedeno stejným způsobem jako v předchozím problému. Najdeme první derivaci rychlosti a rovníme ji na nulu.

Získáme: - 6t + 18 = 0. Tedy t = 3 s. Toto je doba, kdy rychlost těla přebírá kritickou hodnotu. Nahradíme získaná data do rovnice rychlosti a získáme: V = 3 m / s.

Ale jak pochopit, že to je maximální rychlost, protože kritické body funkce mohou být největší nebo nejmenší hodnoty funkce? Pro kontrolu je nutné najít druhou derivaci rychlosti. Vyjadřuje se číslem 6 se znaménkem mínus. To znamená, že nalezený bod je maximální. A v případě pozitivní hodnoty by byl druhý derivát minimální. Proto bylo nalezené řešení správné.

Uvedené příklady jsou pouze částí těch, které lze řešit znalostí, jak najít extrémní body funkce. Ve skutečnosti je mnoho dalších. Takové znalosti otevírají neomezené příležitosti pro lidskou civilizaci.