Povrchy druhého řádu: příklady

S plochami druhého řádu se student nejčastěji nachází v prvním roce. Zpočátku se problémy na toto téma mohou zdát jednoduché, ale když studujete vyšší matematiku a prohlubujete vědeckou stránku, můžete konečně přestat navigovat v tom, co se děje. Aby se tak nestalo, je nutné nejen k zapamatování a pochopit, jak se dostat jeden nebo jiný povrch, jako změna faktorů, které ovlivňují ji a její umístění v porovnání s původním souřadnicovém systému a jak najít nový systém (ve kterém její střed se kryje se začátkem souřadnice a osy symetrie

Definice

Povrch řádku 2 se nazývá HMT, jehož souřadnice splňují obecnou rovnici následujícího tvaru:

F (x, y, z) = 0.

Je zřejmé, že každý bod, který patří k povrchu, musí mít tři souřadnice na jakémkoli určeném základě. Ačkoli v některých případech může být místo bodů degenerováno například do roviny. To znamená, že jedna ze souřadnic je konstantní a rovná se nule v celém rozsahu přípustných hodnot.

Plně namalovaná podoba výše zmíněného rovnosti vypadá takto:

A₁₁x²+A₂₂y²+A₃₃z²+2A_12.xy + 2A₂₃yz + 2A_{13. místo}xz + 2A_{14. místo}x + 2A₂₄y + 2A₃₄z + A₄₄= 0.

A_nm - některé konstanty, x, y, z - proměnné, které odpovídají afinním souřadnicím bodu. Současně musí být alespoň jedna z konstanta faktoru nenulová, to znamená, že každý bod nebude odpovídat rovnici.

V převážné většině příkladů se mnoho číselných faktorů stále rovná nule a rovnice je značně zjednodušená. V praxi není určení, zda je bod patřičný k povrchu, obtížné (stačí nahradit jeho souřadnice v rovnici a ověřit, zda je tato identita pozorována). Klíčovým bodem v této práci je snížení této hodnoty na kanonickou podobu.

Výše popsaná rovnice definuje jakýkoli (všechny níže uvedené) povrchy objednávky 2. Příklady budou dále zvažovány.

Typy povrchových zakázek 2

Rovnice povrchů řádu 2 se liší pouze hodnotami koeficientů A_nm. Z obecného pohledu lze pro určité hodnoty konstant získat různé povrchy, které jsou klasifikovány takto:

1. Válce.
2. Eliptický typ.
3. Hyperbolický typ.
4. Kuželovitý typ.
5. Parabolický typ.
6. Letadlo.

Každý z uvedených druhů má přirozenou a imaginární podobu: v imaginární podobě se geometrické místo skutečných bodů buď degeneruje do jednoduššího čísla, nebo zcela chybí.

Válce

Jedná se o nejjednodušší typ, protože poměrně složitá křivka leží pouze v základně a působí jako vodítko. Formovací čáry jsou rovné, kolmé k rovině, ve které leží základ.

Graf zobrazuje kruhový válec - speciální pouzdro eliptického válce. Rovině XY je elipsa jeho výstupek (v našem případě - kruh), - vodicí a XZ - obdélník - jako osa rovnoběžná s Z., aby ji získat od obecné rovnice, musí být koeficienty dána následujícími významy:

Namísto obvyklých zápisů X, Yorkshi, Z se používají čísla X se sériovým číslem - na tom nezáleží.

Ve skutečnosti 1 / a² a ostatní zde uvedené konstanty jsou stejné koeficienty, které jsou uvedeny ve všeobecné rovnici, ale je obvyklé psát je přesně v této formě - toto je kanonické vyjádření. Pak bude použit pouze tento záznam.

Tak je dán hyperbolický válec. Schéma je stejné - průvodce bude hyperbola.

y²= 2px

Parabolický válec je specifikován poněkud jinak: jeho kanonická forma obsahuje koeficient p, nazvaný parametr. Ve skutečnosti je koeficient q = 2p, ale je obvyklé jeho rozdělení podle dvou prezentovaných faktorů.

Existuje i jiný druh válce: imaginární. Taková válec nepatří k žádnému skutečnému bodu. Popisuje rovnici eliptického válce, ale namísto toho stojí -1.

Eliptický typ

Elipsoid může být natažen podél jedné z os (podél kterého závisí na hodnotách konstant a, b, c, uvedených výše, je jasné, že větší os bude odpovídat většímu koeficientu).

Existuje také imaginární elipsoid - za předpokladu, že součet souřadnic vynásobený koeficienty je -1:

Hyperboloidy

Když se v jedné konstantě objeví minus, elipsoidní rovnice se stane rovnicí hyperboloidu jednoho listu. Je nutné si uvědomit, že toto minus nemusí být umístěno před souřadnicí x₃! Určuje pouze to, která z os je osa otáčení hyperboloidu (nebo paralelní s ním, protože když se na čtverec objeví další výrazy (například (x-2)²) střed obrazu je posunut, v důsledku toho se povrch pohybuje rovnoběžně s osami souřadnic). To platí pro všechny povrchy objednávky 2.

Kromě toho je třeba pochopit, že rovnice prezentován v kanonickém tvaru a mohou být změněny změnou konstanty (zachování znaménko!) - s jejich názory (hyperboloid, kužel, atd.) Zůstávají stejné.

Taková rovnice dává dvojbarevný hyperboloid.

Kónický povrch

V rovnici kužele neexistuje jednotka - rovnost nula.

Kužel je pouze vymezený kuželový povrch. Obrázek níže ukazuje, že ve skutečnosti bude graf dvěma takzvanými kužely.

Důležité poznání: ve všech zvažovaných kanonických rovnicích se předpokládá, že konstanty jsou implicitně pozitivní. V opačném případě může znamení ovlivnit výsledný graf.

Souřadnicové roviny se stávají rovinami souměrnosti kužele, střed symetrie je umístěn na počátku.

V rovnici imaginárního kužele patří k ní pouze pluses, má jediný skutečný bod.

Paraboloidy

Plochy druhého řádu ve vesmíru mohou mít různé podoby i s podobnými rovnicemi. Například paraboloidy jsou dvou druhů.

x²/ a²+y²/ b²= 2z

Eliptický paraboloid, když je osa Z kolmá na výkres, bude promítnuta do elipsy.

x²/ a²-y²/ b²= 2z

Hyperbolický paraboloid: v úsecích s rovinami rovnoběžnými s ZY se získají paraboly a v sekcích s rovinami rovnoběžnými s hyperbolami XY.

Protínající se roviny

Existují případy, kdy povrchy druhého řádu degenerují v rovině. Tyto letadla mohou být uspořádány různými způsoby.

Nejprve zvažte průsečíky:

x²/ a²-y²/ b²= 0

Díky této úpravě kanonické rovnice jsou získány pouze dvě protínající rovinu (imaginární!) - všechna reálná body umístěné na ose souřadnic chybí v rovnici (v kanonické - osy Z).

Paralelní roviny

y²= a²

Za přítomnosti pouze jedné souřadnice se povrchy druhého řádu degenerují do dvojice paralelních rovin. Nezapomeňte, že na místě hry může být jakákoli jiná proměnná, pak roviny rovnoběžné s ostatními osami budou získány.

y²= mínus-a²

V tomto případě se stanou imaginárními.

Souběžné roviny

y²= 0

S takovou jednoduchou rovnicí se dvojice rovin degeneruje do jednoho - shodují se.

Nezapomeňte, že v případě trojrozměrného základu výše uvedená rovnice neuvádí přímku y = 0! V něm neexistují žádné další dvě proměnné, ale to znamená, že jejich hodnota je konstantní a nulová.

Budování

Jedním z nejtěžších úkolů pro žáka je konstrukce povrchů 2. řádu. Je dokonce obtížnější se pohybovat z jednoho souřadnicového systému do druhého, přičemž se vezmou v úvahu svahy křivky vzhledem k osám a posunutí středu. Zopakujme, jak postupně určovat budoucí pohled na výkres analytickým způsobem.

K vybudování povrchové vrstvy 2 je nutné:

• snížit rovnici na kanonickou podobu;
• určí typ povrchu, který má být zkoušen;
• stavět na základě hodnot koeficientů.

Níže jsou uvedeny všechny typy:

Pro fixaci podrobně ukážeme jeden příklad tohoto typu úkolu.

Příklady

Předpokládejme, že existuje rovnice:

3 (x²-2x + 1) + 6y²+2z²+60y + 144 = 0

Snižujeme jej do kanonické podoby. Jednotlivé čtverečky vymezujeme, tj. Sestavujeme stávající součty takovým způsobem, že se jedná o rozklad čtverce součtu nebo rozdílu. Například: pokud (a + 1)²= a²+2a + 1, pak a²+2a + 1 = (a + 1)². Druhou operaci provedeme. Zápěstí v tomto případě není nutné zveřejnit, protože to jen komplikuje výpočty, ale je nutné vytvořit společný násobek 6 (v závorkách se čtvercovým čtvercem):

3 (x-1)²+6 (y + 5)²+2z²= 6

Variabilní zet nastane v tomto případě pouze jednou - dosud se nemůžete dotknout.

Analýzu rovnice v této fázi: před všemi neznámými existuje znaménko plus - pokud je děleno šest, existuje jedna. V důsledku toho máme rovnici definující elipsoid.

Všimněte si, že 144 bylo rozloženo na 150-6, po kterém bylo -6 posunuto doprava. Proč to bylo nutné udělat? Je zřejmé, že největší podskupina v tomto příkladu, -6, proto, že po rozdělení se přímo zbývající jednotky musí být „zrušit“ 144 je 6 (který by měl být vhodný přístroj, říká, že přítomnost volného termínu - konstanty, nenásobí neznámé).

Rozdělíme šest a získáme kanonickou rovnici elipsoidu:

(x-1)²/ 2 + (y + 5)²/ 1 + z²/ 3 = 1

Při klasifikaci povrchů řádu 2, které byly používány dříve, je uvažováno zvláštní případ, když je střed obrazu. V tomto příkladu je zkreslený.

Věříme, že každá skupina s neznámymi je novou proměnnou. To znamená: a = x-1, b = y + 5, c = z. V nových souřadnicích se střed elipsoidu shoduje s bodem (0,0,0), proto a = b = c = 0, odkud: x = 1, y = -5, z = 0. V původních souřadnicích leží střed obrazu v bodě (1, -5,0).

Elipsoid bude získán ze dvou elips: první v rovině XY a druhá v rovině XZ (nebo YZ - nezáleží na tom). Koeficienty, na které jsou proměnné rozděleny, se nacházejí v kanonické rovnici ve čtverci. Proto ve výše uvedeném příkladu by bylo správnější rozdělit kořeny dvou, jednoho a kořen tří.

Menší osa první elipsy, rovnoběžná s osou Y, se rovná dvěma. Hlavní osou rovnoběžnou s osou X jsou dva kořeny obou os. Menší osa druhé elipsy, rovnoběžná s osou Y, zůstává stejná - je rovna dvěma. A hlavní osa rovnoběžná s osou Z se rovná dvěma kořenům tří.

Pomocí metody získané z původní rovnice konverzí na kanonickou formu dat můžeme nakreslit elipsoid.

Shrnutí

Téma obsažené v tomto článku je poměrně rozsáhlé, ale ve skutečnosti, jak je vidět nyní, není příliš složité. Jeho zvládnutí ve skutečnosti končí v okamžiku, kdy se naučíte názvy a rovnice povrchů (a samozřejmě, jak vypadají). Ve výše uvedeném příkladu jsme jednotlivé kroky uvažovali podrobně, ale snížení rovnice na kánonickou formu vyžaduje minimální znalosti ve vyšší matematice a nemělo by pro studenty způsobovat žádné potíže.

Analýza budoucího grafu na existující rovnici je již obtížnějším úkolem. Ale pro jeho úspěšné řešení stačí pochopit, jak jsou konstruovány příslušné křivky druhého řádu - elipsy, paraboly a další.

Případy degenerace jsou ještě jednodušší částí. Kvůli absenci určitých proměnných jsou zjednodušeny nejen výpočty, jak již bylo uvedeno výše, ale také samotná konstrukce.

Jakmile můžete s jistotou pojmenovat všechny druhy povrchů, změňte konstanty, otočením grafu do jednoho nebo jiného čísla - téma bude zvládnuto.

Úspěch v učení!