Fourierova řada: historie a vliv matematického mechanismu na vývoj vědy

Fourierova série je reprezentací libovolné funkce s určitou periodou ve formě série. Obecně se toto řešení nazývá rozšíření prvku podél ortogonálního základu. Rozšíření funkcí Fourier série je velmi mocný nástroj pro řešení různých problémů v důsledku vlastností transformace v integračním, diferenciace, jakož i posun v argumentu výraz a konvoluce.

Osoba, která není obeznámen s vyšší matematiky, stejně jako s prací francouzského vědce Fourier, s největší pravděpodobností nebude rozumět, co „pozice“ a co dělají. A přesto se tato transformace v našem životě stala poměrně hustá. Používá se nejen matematiku, ale i fyzici, chemici, lékaři, astronomy, seismologists, oceanographers a další. Podívejme se také na díla velkého francouzského vědce, který objevil před časem.

Člověk a Fourierova transformace

Série Fourier jsou jednou z metod (spolu s analýzou a dalšími) Fourierova transformace. Tento proces se vyskytuje pokaždé, když člověk slyší zvuk. Náš ucho se automaticky převádí zvuková vlna. Vibrační pohyby elementárních částic v elastickém médiu se rozkládají do sérií (podle spektra) po sobě jdoucích hodnot úrovně hlasitosti pro tóny různých výšin. Můstek dále tyto údaje přemění na známé zvuky. To vše se děje kromě naší touhy nebo vědomí samo o sobě, ale abychom pochopili tyto procesy, bude trvat několik let, než studovat vyšší matematiku.

Více o transformaci Fourier

Fourierova transformace může být provedena analytickými, numerickými a jinými metodami. Fourierovy řady jsou číslice proces rozkládání žádné oscilační procesy - z přílivu na oceán a vlny světla do solárních cyklů (a dalších astronomických objektů) aktivity. Použitím těchto matematických metod, je možné demontovat funkci, což představuje nějaké oscilační procesy v řadě sinusových složek, které jdou od minima na maximum a vice versa. Fourierova transformace je funkce popisující fáze a amplitudy sinusoid, které odpovídají konkrétní frekvenci. Tento proces může být použit pro řešení velmi složitých rovnic, které popisují dynamické procesy probíhající při působení tepla, světla nebo elektrická energie. Také, Fourier série používá pro odlišení stejnosměrné složky ve složitých křivek, aby bylo možné správně interpretovat experimentální pozorování v lékařství, chemie a astronomie.

Historické pozadí

Zakladatelem této teorie je francouzský matematik Jean Baptiste Joseph Fourier. Jeho jméno bylo později nazýváno touto transformací. Zpočátku, vědci používají techniku ​​studovat a vysvětlit mechanismy tepelné vodivosti - šíření tepla v pevných látkách. Fourier navrhl, že počáteční nepravidelné rozložení tepelné vlny může být rozložen do jednoduchého sinusoidy, z nichž každá bude mít teplotní minimum a maximum, stejně jako jeho fáze. V takovém případě bude každá taková složka měřena od minima do maxima a naopak. Matematická funkce, která popisuje horní a dolní vrcholy křivky, stejně jako fáze každé harmonické, která se nazývá Fourierova transformace rozložení teplot projevu. Autor teorie zmenšil obecnou distribuční funkci, kterou je obtížné popsat, velmi komfortní sérii periodické funkce cosinus a sinus, v součtu poskytujícího počáteční distribuci.

Princip transformace a názory současníků

Současníci vědce - vedoucí matematici z počátku devatenáctého století - neměl tuto teorii akceptovat. Hlavní námitka bylo schválení Fourierovy, že nespojité funkce popisující přímky nebo křivky se roztrhané, může být reprezentován jako suma sinusových výrazů, které jsou kontinuální. Jako příklad uvažujme „krok“ Heaviside: jeho hodnota je nulová na levé straně mezery, a na pravé straně. Tato funkce popisuje závislost elektrického proudu na časové proměnné při uzavření obvodu. Současné teorie v té době, nikdy takovou situaci, kdy by se diskontinuální výraz popsanou kombinací spojitých, společných funkcí, jako je exponenciální, sinusového, lineární nebo kvadratickou setkal.

Jaké rozpaky francouzských matematiků ve Fourierově teorii?

Koneckonců, když matematik správně argumentovat, pak součet nekonečné trigonometrické Fourierovy řady, je možné získat přesné znázornění kroku projevu, a to i v případě, že má řadu podobných kroků. Na počátku devatenáctého století se takové prohlášení zdálo absurdní. Ale navzdory všem pochybnostem, mnozí matematici rozšířili rozsah studia tohoto fenoménu, pohybující se nad rámec těchto studií tepelné vodivosti. Nicméně, většina vědců i nadále trpět otázku: „Může být součet sinusového řada konverguje k přesnému hodnotě nespojité funkce“

Konvergence Fourierovy řady: příklad

Otázka konvergence se objevuje pokaždé, když je třeba doplnit nekonečné počty čísel. Abychom pochopili tento jev, zvažte klasický příklad. Dokážete se dostat ke stěně, pokud je každý následující krok půl předchozí? Předpokládejme, že jste dva metry od brány, první krok blíže k kolem půl cesty, další - značka tří čtvrtin a po páté, budete překonat téměř 97 procent na cestě. Nicméně, bez ohledu na to, kolik kroků budete podnikat, nedosáhnete svého cíle v přísném matematickém smyslu. Pomocí číselných výpočtů lze ukázat, že nakonec je možné přiblížit libovolnou malou předem stanovenou vzdálenost. Tento důkaz je ekvivalentní k prokázání toho, že celková hodnota jedné sekundy, jedné čtvrté atd. Bude mít tendenci k jednotě.

Otázka konvergence: druhý příchod nebo Zařízení lorda Kelvina

Opakovaně vyvstala otázka, na konci devatenáctého století, kdy řada Fourier se pokusili použít předvídat intenzitu ochabne a toky. V té době, Lord Kelvin byl vynalezen přístroj je analogový počítač, který umožňoval námořníci námořnictvo a obchodní loďstvo monitoru je přirozený jev. Tento mechanismus definovaný soubor fází a amplitud výšky tabulky přílivu a odlivu a odpovídajících časových okamžicích, pečlivě měří v přístavu v průběhu celého roku. Každý parametr byl sinusovou složkou výšky přílivu a byl jedním z pravidelných složek. Výsledky měření jsou přiváděna do výpočetního zařízení Lord Kelvin, syntetizovat křivku, která předpokládanou výšku vody jako funkce následujícího roku. Velmi brzy byly tyto křivky sestaveny pro všechny přístavy světa.

A pokud je proces přerušován nespojitou funkcí?

V té době bylo zřejmé, že přístroj předpovídá přílivovou vlnu, s mnoha prvky účtu lze vypočítat celou řadu fází a amplitud, a tak poskytnout přesnější předpověď. Nicméně se ukázalo, že tento vzor není pozorován v případech, kdy přílivové výraz, který se syntetizuje, obsažených ostrý skok, to znamená, že jsou nespojité. V případě zadání dat do zařízení z tabulky časových momentů vypočítá několik Fourierových koeficientů. Původní funkce je obnovena díky sinusovým komponentám (podle nalezených koeficientů). Rozdíl mezi původním a obnoveným výrazem lze měřit v kterémkoli okamžiku. Při opakovaných výpočtech a srovnáních je zřejmé, že hodnota největší chyby se nezmenšuje. Jsou však lokalizovány v oblasti, která odpovídá bodu nespojitosti, a na jiném místě mají tendenci k nule. V roce 1899 tento výsledek teoreticky potvrdil Joshua Willard Gibbs z Yale University.

Sbližování Fourierovy řady a vývoj matematiky obecně

Fourierova analýza není použitelná pro výrazy obsahující nekonečný počet výbuchů v určitém intervalu. Obecně Fourierova série, pokud je původní funkce reprezentována výsledkem skutečné fyzické dimenze, se vždy sbližuje. Otázky konvergence tohoto procesu pro konkrétní třídy funkcí, vedly k nové matematické obory, jako je teorie zobecněných funkcí. To je spojeno s takovými názvy jako L. Schwartz, J. Mikusinsky a J. Temple. Podle této teorie, jasný a přesný teoretický základ pro tuto expresi bylo stanoveno jako delta funkce Diracově (popisuje oblast jedné oblasti, koncentrována ve nekonečně okolí bodu), a „krok“ Heaviside. Prostřednictvím této práce Fourierova řada stala použitelnými pro řešení rovnic a problémů, které se týkají intuitivní koncepty: bodový náboj, hmotný bod, magnetický dipól a koncentrované zatížení na nosníku.

Fourierova metoda

Fourier série, v souladu se zásadami rušení začíná rozkladem složitých tvarů do jednodušší. Například, změna toku tepla v důsledku průchodu různými překážkami v tepelně izolačního materiálu s nepravidelným tvarem nebo měnící se povrch půdy - zemětřesení, změna oběžné dráhy nebeské těleso - vlivem planet. Obecně platí, že podobné rovnice popisující jednoduché klasické systémy jsou řešeny elementárně pro každou jednotlivou vlnu. Fourier ukázal, že lze také shrnout jednoduchá řešení, abychom získali řešení složitějších problémů. Jazykem matematiky, Fourierova řada - metodika pro podání expresního součtu harmonických - cos a sine vln. Proto je tato analýza také známá jako "harmonická analýza".

Série Fourier je ideální technikou před "věkem počítače"

Před vytvořením výpočetní techniky byla Fourierova metoda nejlepším zbraňem v arzenálu vědců při práci s vlnovou povahou našeho světa. Fourierova série v komplexní podobě nám umožňuje vyřešit nejen jednoduché problémy, které se dají přímo uplatnit zákony newtonské mechaniky, ale i základní rovnice. Většina objevů newtonské vědy devatenáctého století se stala možná pouze díky Fourierově metodě.

Fourierovy řady dnes

S vývojem počítačů se Fourierova transformace zvýšila na kvalitativně novou úroveň. Tato technika je pevně zakotvena prakticky ve všech oblastech vědy a techniky. Příkladem je digitální audio a video signál. Jeho realizace se stala možná pouze díky teorii vyvinuté francouzským matematikem na počátku devatenáctého století. Fourierova série v složité podobě tak umožnila průlom ve studiu vesmíru. Navíc to ovlivnilo studium fyziky polovodičových materiálů a plazmatu, mikrovlnné akustiky, oceánografie, radiolokace, seismologie.

Trigonometrická Fourierova řada

V matematice je Fourierova série způsob reprezentace libovolných komplexních funkcí jako součet jednodušších. Počet těchto výrazů může být obecně nekonečný. V tomto případě, čím více je jejich počet zohledněn při výpočtu, tím přesněji se získá konečný výsledek. Nejčastěji se používají trigonometrické funkce kosinusu nebo sinusu jako nejjednodušší. V tomto případě se Fourierova řada nazývá trigonometrickým a řešením těchto výrazů je rozšíření harmonické. Tato metoda hraje důležitou roli v matematice. Za prvé, trigonometrické řady poskytují prostředky pro obraz, stejně jako studium funkcí, je to základní přístroj teorie. Navíc umožňuje řešit řadu problémů matematické fyziky. Nakonec tato teorie přispěla k rozvoji matematická analýza, přivedl k životu řadu velmi důležitých částí matematiky (teorie integrálů, teorie periodických funkcí). Navíc sloužil jako výchozí bod pro vývoj následujících oblastí teorie: množiny, funkce skutečné proměnné, funkční analýza, a také iniciovala harmonickou analýzu.