Co je čtverec? Jak najít vrcholy, sekci, rovinu, rovnici, objem, základní plochu a úhel čtverce?

Odpovědi na otázku, co je čtverec, může být hodně. Vše závisí na tom, s kým jste tuto otázku adresoval. Hudebník říká, že náměstí je 4, 8, 16, 32 barů nebo jazzová improvizace. Dítě je hra s koulí nebo dětským časopisem. Tiskárna vám pošle ke studiu kuželky písma a technik - různé kovové válcovací profil.

Mnoho dalších významů tohoto slova, ale dnes budeme klást otázku na matematiku. Takže ...

Postupně se s touto postavou zabýváme, od jednoduchých až po komplexní, a začneme s historií náměstí. Jak se to stalo, jak to lidé vnímají, vědci z různých zemí a civilizací?

Historie studia náměstí

Starobylý svět vnímá náměstí, především jako čtyři strany světa. Obecně platí, že navzdory mnoha čtvercům je čtverec, který má hlavní číslo - čtyři. Pro asyrské a peruánské náměstí je celý svět, to znamená, že představuje čtyři hlavní směry, směry světa.

Dokonce i vesmír byl reprezentován jako čtverec, rozdělen také na čtyři části - to je vize obyvatel Severní Ameriky. Pro Kelty je vesmír tolik, kolik má tři čtverce v sobě navzájem a čtyři (!) Řeky proudí z centra. A Egypťané obecně zbožňují toto číslo!

Poprvé byl čtverec popsán pomocí matematických vzorců Řeků. Ale pro ně měl tento polygon pouze negativní charakteristiky. Pythagorové obecně nemají rádi ani čísla, protože v nich vidí slabost a ženskost.

I v náboženstvích je čtverec. V islámu, Kaaba - pupka Země - nemá nějakou sférickou, ale kubickou podobu.

V Indii byl hlavní graf zobrazující Zemi, nebo symbol Země, zkřížený čtverec. Znovu mluvíme o čtyřech stranách světa, o čtyři oblasti země.

V Číně je náměstí mír, harmonie a pořádek. Chaos je poražen stavbou náměstí Vary. A náměstí zapsané do kruhu je základem vize světa, symbolizující jednotu a spojení vesmíru a Země.

Pohanské Rusko - náměstí Svarog. Tento symbol se také nazývá hvězdou Svarog, nebo Hvězda Ruska. Je to docela složité, protože je tvořeno protínajícími se a uzavřenými liniemi. Svarog - bůh kovář, nejvýznamnější tvůrce, tvůrce a samotné nebe v zastoupení Rusicha. V tomto symbolu je kosočtverec, který opět mluví o Zemi a jejích čtyřech směrech. A hvězda se čtyřmi paprsky - 4 strany světa, 4 tváře Svarga - jeho všudypřítomnost. A průsečík paprsků je zaměřen.

Zajímavý náměstí

Nejpopulárnější frází, která nám přichází na mysli o naší hlavní postavě, je "Černé náměstí".

Malování od Malevicha je stále velmi populární. Samotný autor po jeho stvoření byl dlouhotrhaný otázkou, co to je a proč jednoduchý černý čtverec na bílém pozadí tak upozorňuje na sebe.

Ale pokud jste se blíže podívat pozorněji, zjistíte, že na náměstí letadlo není hladká a v trhlinách černého inkoustu je sada různobarevných odstínů. Zdá se, že na počátku došlo k určitému složení, které autor nelíbil, a on to zavřel z očí do tohoto obrázku. Černý čtverec, jako nic - černá díra, jen magický čtvercový tvar. A prázdnota, jak víte, láká ...

Stále velmi populární jsou "magické čtverce". Ve skutečnosti je to tabulka, samozřejmě čtvercová, vyplněná čísly v každém sloupci. Součet těchto čísel je stejný ve všech řadách, sloupcích a úhlopříčkách (zvlášť). Pokud jsou diagonály vyloučeny z rovnosti, pak je čtverec polomagický.

Albrecht Durer vytvořil v roce 1514 obraz "Melancholie I", který zobrazoval kouzelný čtverec 4x4. V tom je součet čísel všech sloupců, řad, diagonálů a dokonce i vnitřních čtverců třicet čtyři.

Na základě těchto tabulek se objevily velmi zajímavé a populární hádanky - "Sudoku".

Egypťané byli první, kdo vedli linie vzájemného propojení čísel (datum narození) a kvality postavy, schopností a talentů člověka. Pythagoras vzal tyto poznatky, několikrát je přepracoval a umístil přímo. Ukázalo se Náměstí Pythagoras.

To je již samostatný směr v numerologii. Od data narození osoby se přidá čtyři základní čísla, která jsou umístěna v psychomatrix (čtverec). Takže ukládejte všechny tajné informace o své energii, zdraví, nadání, štěstí, temperamentu a dalších věcech na regálech. Podle průzkumů veřejného mínění je spolehlivost 60% -80%.

Co je čtverec?

Čtverec je geometrická postava. Tvar čtverce je čtyřúhelník, který má stejné strany a úhly. Přesněji řečeno, tento čtverhran je volán správný.

Náměstí má své vlastní značky. Jedná se o:

• strany rovnající se délce;
• Rovné úhly jsou rovné (90 stupňů).

Kvůli těmto vlastnostem a vlastnostem může být kružnice zapsána do čtverce a popsána kolem ní. Omezená kružnice se dotýká všech jeho vrcholů, vpísaných - uprostřed všech jeho stran. Jejich centrum se shoduje se středem náměstí a rozdělí všechny jeho úhlopříčky na polovinu. Ty druhé jsou zase stejné a rozdělí rohy čtverce na stejné části.

Jedna diagonála rozděluje čtverec na dvě rovnoramenný trojúhelník, obě - ​​čtyři.

Pokud tedy délka strany čtverce je t, poloměr ohraničeného kruhu je R a délka nápisu je r, pak

• plocha základny čtverce nebo plocha čtverce (S) bude S = t²= 2R²= 4r²;
• obvod čtverce P se vypočte podle vzorce P = 4t = 4radic-2R = 8r;
• délka poloměru ohraničené kružnice R = (radic-2/2) t;
• zapsáno - r = t / 2.

Plochu základny čtverce lze ještě počítat, když známe jeho stranu (a) nebo délku její úhlopříčky (c), pak vzorce budou vypadat takto: S = a² aS = 1 / 2c².

Jaké je náměstí, zjistili jsme. Podívejme se podrobněji na detaily, protože náměstí je nejvíce symetrický čtyřúhelník. Má pět osy symetrie, a jeden (čtvrtého řádu) prochází středem a je kolmá k rovině na náměstí, a čtyři další - Dvojnásobná osa symetrie, dva z nich jsou rovnoběžné se stranami, a další dva průchody přes úhlopříčky čtverce.

Způsoby výstavby náměstí

Na základě definic se zdá, že nic není jednodušší než budování pravého čtverce. To je pravda, ale za předpokladu, že máte všechny měřicí přístroje. A pokud něco není k dispozici?

Podívejme se na stávající způsoby, které nám pomohou postavit tuto postavu.

Měřící pravítko a gon jsou hlavními nástroji, s nimiž je čtverec nejjednodušší konstruován.

Nejprve označte bod, řekněme A, z něj budeme postavit základnu náměstí.

Pomocí pravítka nastavte vzdálenost rovnající se délce strany od ní doprava, řekněme 30 mm a místo bodu B.

Nyní, ze dvou bodů, využívající gon kolmice přejetím až každých 30 mm. Na koncích kolmic nastavené body C a D, které jsou vzájemně propojeny pomocí pravítka - vše čtverec ABCD se stranou 30 mm připraven!

S pravítkem a úhloměrem je také poměrně snadné postavit náměstí. Začněte, jako v předchozím případě, od bodu, řekněme H, z něj odložit horizontální segment, například 50 mm. Nastavte bod O.

Nyní připojte střed úhloměru k bodu H, označte hodnotu úhlu 90⁰, skrz ně a vybudovat vertikální úsek bod H 50 mm je na svém konci s bodem P. Dále, tímto způsobem budovat třetí segment z bodu O o úhel 90⁰, rovno 50 mm, nechte to končit bodem P. Připojte body P a P. Máte čtverec NORP s délkou strany 50 mm.

Můžete vytvořit čtverec pouze pomocí kompasu a pravítka. Pokud je pro vás důležitá velikost čtverce a délka strany je známa, budete potřebovat také kalkulačku.

Takže dát první bod E - to bude z vrcholů náměstí. Dále určete místo, kde se nachází opačný vrchol G, tedy zachovat diagonál Ježek vašeho obrázku. Pokud stavíte čtverec ve velikosti, pak máte délku strany, vypočítat délku diagonály podle vzorce:

d = radic-2 * a, kde a je délka strany.

Jakmile zjistíte délku diagonály, nakreslete část EH této hodnoty. Z bodu E nakreslete polokruh pomocí kompasu ve směru bodu G. Naopak, od bodu - je polokruh ve směru bodu E s poloměrem Ε Ε. Prostřednictvím průsečíků těchto polokruhů pomocí pravítka vytvořte segment ZI. HZ a ZI se protínají v pravém úhlu a jsou diagonály budoucího čtverce. Spojením bodů EI, IZH, LZ a ZE pomocí pravítka získáte vyznačený čtverec EIZHZ.

Další možností je postavit čtverec pomocí jediného pravítka. Co je čtverec? Toto je část roviny ohraničené protínajícími se segmenty (čáry, paprsky). V důsledku toho můžeme vytvořit čtverec vzhledem k souřadnicím jeho vrcholů. Nejprve nakreslete souřadnice souřadnic. Strany náměstí mohou ležet na nich, nebo střed křižovatky diagonálů se shoduje s počátkem - to záleží na vaší touze nebo podmínkách problému. Možná, že vaše postava bude v určité vzdálenosti od os. V každém případě nejprve označte dva body číselnými hodnotami (libovolně nebo podmíněně), potom znáte délku strany čtverce. Nyní můžeme vypočítat souřadnice zbývajících dvou vrcholů a pamatovat si, že strany čtverce jsou stejné a jsou vzájemně paralelně paralelní. Posledním krokem je spojení všech bodů v sérii pomocí pravítka.

Jaké jsou čtverce?

Čtverec je dobře definovaná postava a je pevně ohraničena jejími definicemi, proto se typy čtverců nerozlišují podle odrůdy.

Na náměstí Euclidean geometrie je viděn ve větší míře - čtyřúhelník se stejnými stranami a rohy, ale není specifikována míra úhlů. To znamená, že úhly mohou být 120 ° ( „konvexní“ čtverec) a, například 72 stupňů ( „konkávní“ čtverečních).

Pokud se zeptáte, jaký čtverec je, s geometrem nebo počítačovou vědou, bude vám řečeno, že jde o úplný nebo rovinný graf (grafy s K₁ od K₄). A to je naprosto pravda. Graf má vrcholy a hrany. Když se dostanou do uspořádaného páru, vytvoří se graf. Počet vrcholů je pořadí grafu, počet okrajů je jeho velikost. Takže čtverec je rovinný graf se čtyřmi vrcholy a šesti hranami, nebo K₄: 6.

Strana náměstí

Jedna z hlavních podmínek existence čtverce - přítomnost rovných stran podél délky - činí stranu velmi důležitou pro různé výpočty. Zároveň však poskytuje mnoho způsobů, jak lze vypočítat délku strany čtverce za přítomnosti velmi odlišných počátečních dat.

Jak najít hodnotu strany náměstí?

• Pokud víte pouze délku úhlopříčky čtverce d, potom můžete vypočítat stranu podle následujícího vzorce: a = d / radic-2.
• Průměr vloženého kruhu se rovná straně čtverce a následně dvěma poloměrnicím, to znamená: a = D = 2R.
• Poloměr kruhu může také pomoci zjistit, co je na straně náměstí. Můžeme poloměr R naučit průměr D, který, podle pořadí, se rovná úhlopříčky čtvercového d, a vzorec pro stranách čtverce přes diagonální známe: A = D / Radic-2 = D / Radic-2 = 2R / Radic-2 .
• Z rovnosti stran je zřejmé, že strana čtverce (a) může být známa s obvodem P nebo oblast S: a = radic-S = P / 4.
• Známe-li délku čáry, která vede z rohu náměstí a prochází středem jejího přilehlého bočního C se nám také podařilo zjistit, jaká je délka strany čtverce: A = 2C / Radić-5.

To je, kolik způsobů existuje, abychom zjistili tak důležitý parametr jako délka strany náměstí.

Objem čtverce

Samotná fráze je absurdní. Co je čtverec? Jedná se o plochou postavu s pouze dvěma parametry - délkou a šířkou. A hlasitost? Toto je kvantitativní charakteristika prostoru, který objekt zaujímá, to znamená, že lze vypočítat pouze pro trojrozměrná tělesa.

Trojrozměrné tělo, se všemi jeho obličejovými čtverci, je krychle. Navzdory kolosálnímu a zásadnímu rozdílu se školáci poměrně často snaží vypočítat objem čtverce. Pokud uspěje, je zaručena Nobelova cena.

A pro zjištění objemu krychle V stačí vynásobit všechny její tři hrany - a, b, c: V = a * b * c. A jelikož jsou z definice rovni, vzorec může vypadat jinak: V = a³.

Hodnoty, části a vlastnosti

Náměstí, jako každý mnohoúhelník, má vrcholy - to jsou body, ve kterých se jeho strany protínají. Vrcholy čtverce leží na kružnici vymezené kolem něj. Úhlopříčka prochází vrcholem do středu čtverce, což je také bisectrix a poloměr ohraničeného kruhu.

Vzhledem k tomu, že čtverec je plochý obrázek, není možné řezat a zkonstruovat průřez čtverce. Ale může to být výsledek průniku mnoha objemových těles letadlem. Například válec. Axiální část válce je obdélník nebo čtverec. Dokonce i když překročíte tělo rovinou v libovolném úhlu, můžete získat čtverec!

Ale náměstí má ještě jeden vztah k sekci, a nikoliv k žádnému, ale ke Zlaté sekci.

Všichni víme, že zlatý poměr je poměr, ve kterém jedna hodnota odkazuje na jinou, stejně jako jejich součet na větší hodnotu. Ve zobecněných procentních hodnotách to vypadá takto: původní hodnota (částka) se dělí o 62 a 38 procent.

Zlatá sekce je velmi populární. Používá se v designu, architektuře a všude, dokonce i v ekonomice. Ale to není v žádném případě jediný poměr vyvozený Pythagorasem. Existuje například další výraz "radic-2". Na jeho základě jsou postaveny dynamické obdélníky, které jsou zase zakladateli formátů A (A6, A5, A4 atd.). Proč přišlo o dynamické obdélníky? Protože jejich konstrukce začíná čtvercem.

Ano, nejprve musíte postavit čtverec. Jeho strana bude rovna menší straně budoucího obdélníku. Poté je třeba nakreslit diagonál tohoto čtverce a pomocí kompasu by délka této diagonály měla být odložena na prodloužení strany čtverce. Z bodu získaného na křižovatce vybudujeme obdélník, ve kterém opět postavíme diagonál a odložíme její délku na prodloužení strany. Pokud budete pokračovat v používání této schématu, získáte stejné dynamické obdélníky.

Poměr dlouhé strany prvního obdélníku k krátké je 0,7. To je v Zlaté sekci téměř 0,68.

Úhly náměstí

Ve skutečnosti je něco čerstvého, co říci o koutech, již obtížné. Všechny vlastnosti, jsou atributy čtverce, které jsme uvedli. Pokud jde o úhly, existují čtyři (stejně jako v každém čtverci), každý roh na náměstí je přímka, to znamená, že má rozměr devadesát stupňů. Podle definice je pouze čtverec pravoúhlý. Jsou-li úhly větší nebo menší velikosti, je již další číslo.

Úhlopříčky čtverce rozdělují své úhly na polovinu, tj. Jsou bisektory.

Rovnice čtverce

Pokud je to nutné pro výpočet hodnoty různých velikostí do čtverce (čtverečních délky obvodu stran nebo diagonál) používají různé rovnice, které jsou odvozeny od vlastností čtverce, a základních zákonů pravidel geometrie.

1. Čtvercová rovnice čtverce

Z rovnic pro výpočet plochy čtyřúhelníků víme, že (plocha) je rovna výsledku délky a šířky. A protože strany čtverce jsou stejné délky, její plocha bude rovna délce každé strany postavené ve druhém stupni

S = a².

Použitím Pythagorovy věty můžeme vypočítat plochu čtverce, znát délku jeho úhlopříčky.

S = d²/ 2.

2. Rovnice obvodu čtverce

Obvod náměstí, stejně jako všechny čtvercové čtverce, se rovná součtu délky jeho stran a protože jsou všechny stejné, pak můžeme říci, že obvod čtverce se rovná délce strany násobené čtyřmi

P = a + a + a + a = 4a.

Pythagorská věta opět pomůže najít obvod přes diagonální. Je nutné vynásobit délku diagonály dvěma kořeny dvěma

P = 2radic-2d

3. Rovnice diagonály čtverce

Úhlopříčky čtverce jsou stejné, protínají se v pravém úhlu a dělí se na polovinu průsečíkem.

Najdete je na základě výše uvedených rovnic prostoru a obvodu náměstí

d = radic-2 * a, d = radic-2S, d = P / 2radic-2

Existují také způsoby, jak zjistit, jaká je délka úhlopříčky náměstí. Poloměr zapsaného kruhu je půl úhlopříčky

d = radic-2D = 2radic-2R, kde D je průměr a R je poloměr zapsaného kruhu.

Pokud známe poloměr ohraničeného kruhu, je ještě snadnější vypočítat diagonál, protože je to průměr, to znamená d = D = 2R.

Je také možné vypočítat délku úhlopříčky, protože je známo, že délka čáry vycházející z rohu do středu strany čtverce C: d = radic-8/5 * C.

Ale nezapomeňte, že čtverec je částí roviny ohraničené čtyřmi protínajícími se čarami.

Pro řádky (a jejich tvary) existuje dostatek rovnic, které nepotřebují další popis, ale linka je nekonečná. A mnohoúhelníky jsou ohraničeny průsečíkem linií. Pro ně můžete použít lineární rovnice, Kombinuje se v systému, který definuje přímky. Je však nutné specifikovat další parametry a podmínky.

Pro definici polygonů je však nutné vytvořit rovnici, která by popisovala ne čáru, ale samostatný libovolný segment bez zásahu dalších podmínek a popisů.

[x / x_i ] * [x_i/ x] * y_i - toto je speciální rovnice pro mnohoúhelníky.

Hranaté závorky v ní označují podmínku pro vyloučení části zlomku čísla, to znamená, že musíme ponechat pouze celé číslo. y_i - která se provádí v rozsahu parametrů od x do x_i.

Pomocí této rovnice můžeme odvodit nové rovnice pro výpočet segmentů a linií sestávajících z několika segmentů. Je základní, univerzální pro mnohoúhelníky.

Uvědomte si, že čtverec - je součástí roviny, takže jeho popis typu y = f (x) mohou být reprezentovány, nejčastěji jen jako vícehodnotové funkce, které na oplátku mohou být vyjádřeny v jednoznačné, pokud je předložit parametricky, který je závislý na libovolného parametru t:

x = f (t), y = f (t).

Takže pokud použijeme souhrnnou univerzální rovnici a parametrické znázornění, pak je skutečně možné odvodit rovnici pro vyjádření polygonů:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * Cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Sin (L),

kde

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P] - A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2] - A3 = [3 / [T / P] ] * [[T / P] / 3] - A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4] - A5 = TP * [T / P],

kde P je úhlopříčka obdélníku, L je úhel sklonu k horizontální diagonále P, T je parametr od P do 5P.

Pokud L = 3,14 / 4, potom rovnice popisuje čtverce různých hodnot v závislosti na velikosti úhlopříčky P.

Použití čtverce

V moderním světě vám technologie umožňuje dát různým materiálům čtvercový tvar, přesněji čtvercový úsek.

To je mnohem výhodnější, levnější, trvanlivější a bezpečnější. Takže teď čtvercové trubky, piloty, dráty (dráty) a dokonce i čtvercové vlákna.

Hlavní výhody jsou zřejmé, vycházejí z elementární geometrie. Se stejným množstvím vepsané kružnice čtvercové plochy menší než je plocha, ve které vstoupil, v důsledku toho, propustnost nebo spotřeba energie čtvercové trubce čtvercových drátů, aby byla vyšší než u kruhových analogů.

Často jsou materiály čtvercového průřezu více estetické a pohodlné při použití, při montáži a upevňování.

Při výběru těchto materiálů je důležité správně vypočítat průřez čtverce tak, aby drát nebo potrubí vydržela požadované zatížení. V každém jednotlivém případě samozřejmě nebudou potřebné takové parametry jako proud nebo tlak, ale bez základních geometrických pravidel náměstí. Přestože velikost čtvercových částí není tak vypočtena, kolik je vybráno z daných parametrů z tabulek stanovených společností GOST pro různé průmyslové odvětví.