Russellův paradox: pozadí, příklady, formulace

Russellův paradox představuje dvě vzájemně závislé logické antinomie.

Dvě podoby Russellova paradoxu

Nejčastěji diskutovanou formou je rozpor v logice množin. Některé soubory, zdá se, mohou být členy sami, a jiné - ne. Sada všech sad je sama o sobě, proto se zdá, že se to týká. Nula nebo prázdná by však neměla být členem vás. Proto množina všech sad, stejně jako nula, se nedostává do sebe. Paradox se objevuje v otázce, zda je soubor sám. To je možné, pouze pokud tomu tak není.

Další formou paradoxu je rozpor ohledně vlastností. Některé vlastnosti vypadají, že patří k sobě, zatímco jiné ne. Vlastnost vlastnictví jako taková je majetek, zatímco vlastnost kočky není majetkem. Zvažte vlastnost vlastnictví, které se samo o sobě netýká. Je to relevantní pro sebe? Z jakéhokoli předpokladu se opakuje opak. Tento paradox byl pojmenován po Bertrandu Russellovi (1872-1970), který ho otevřel v roce 1901.

Historie

Russellův objev se objevil během jeho práce na "Zásadách matematiky". Ačkoli on sám objevil paradox, existují důkazy, že jiní matematici a vývojáři teorie množin, včetně Ernst Zermelo a David Hilbert, věděl o první verzi rozporu před ním. Russell však poprvé diskutoval o paradoxu ve svých publikovaných pracích, nejprve se snažil formulovat řešení a byl prvním, kdo plně ocenil jeho význam. Celá kapitola "Zásad" byla věnována diskusi o této otázce a příloha byla věnována teorii typů, kterou Russell navrhl jako řešení.

Russell objevil „paradox lháře‘, s ohledem na teorii množin Cantor, že říká, že síla jakýkoliv soubor je menší než soubor jejích podskupin. Alespoň v doméně by měla existovat tolik podskupin, kolik jsou v ní elementy, jestliže pro každý prvek je jedna podmnožina množina obsahující pouze tento prvek. Navíc Cantor prokázal, že počet prvků nemůže být roven počtu podsítě. Pokud by měli stejné číslo, pak by musel existovat funkce ƒ, která by mapovala prvky do jejich podmnožin. Současně lze prokázat, že to není možné. Některé prvky mohou být zobrazeny funkcí ƒ na podmnožinách, které je obsahují, zatímco jiné nemohou.

Zvažte podmnožinu prvků, které nepatří k jejich obrazům, do kterých jsou mapovány. Samo o sobě je podmnožinou prvků, a proto funkce ƒ bude muset mapovat to na nějaký prvek v doméně. Problémem je, že pak vzniká otázka, zda tento prvek patří do podmnožiny, na kterou je mapován. To je možné pouze v případě, že nepatří. Russellův paradox může být považován za příklad stejného odůvodnění, jen zjednodušený. Jaké jsou množiny nebo podmnožiny sady? Zdá se, že by měly existovat více souborů, protože všechny podmnožiny sady jsou sady. Ale pokud je věta Cantor pravdivá, pak musí existovat více podmnožin. Russell zvažoval nejjednodušší mapování sady na sebe a aplikoval kantorský přístup na zvážení souboru všech těchto prvků, které nepatří do sad, do kterých jsou mapovány. Mapa Russell se stává souborem všech souborů, které se nedostávají do sebe.

Chyba Frege

"Paradox lháře" měl hluboké důsledky pro historický vývoj teorie množin. Ukázal, že koncept univerzální sady je velmi problematický. On také zpochybnil představu, že pro každou definovanou podmínku nebo predikát lze předpokládat existenci souboru pouze těch věcí, které tuto podmínku splňují. Varianta paradox týkající se vlastností - přirozené rozšíření na verzi sady - vyvolává vážné pochybnosti o tom, zda je možné se dohadovat o objektivní existenci majetku nebo univerzální shodě ke každému dán stavu nebo predikátu.

Brzy byly nalezeny rozpory a problémy v práci logiků, filozofové a matematici, kteří dělali podobné předpoklady. V roce 1902, Russell zjistili, že variantou paradoxu lze vyjádřit v logickém systému, který byl vypracován ve Svazku I Frege je „Základy aritmetiky“, jeden z hlavních prací na logice pozdního XIX - počátku XX století. Ve filozofii Frege se množina chápe jako "expanze" nebo "významový rozsah" konceptu. Koncepty jsou nejbližší korelace s vlastnostmi. Předpokládá se, že existují pro každý daný stav nebo predikát. Existuje tedy pojem souboru, který nespadá pod jeho definici. Existuje také třída vymezená touto koncepcí a spadá pod definici pojmu, pouze pokud tomu tak není.

Russell napsal Fregeovi o tomto rozporu v červnu 1902. Korespondence se stala jedním z nejzajímavějších a diskutovaných v historii logiky. Frege okamžitě poznal katastrofické důsledky paradoxu. Poznamenal však, že verze rozporu ohledně vlastností ve své filozofii byla vyřešena rozlišováním úrovně konceptů.

Koncept Frege byl chápán jako funkce přechodu od argumentů k pravdivým hodnotám. Koncepty první úrovně přijímají objekty jako argumenty, koncepty druhé úrovně berou tyto funkce jako argumenty a tak dále. Koncept tedy nikdy nemůže být považován za argument a paradox o vlastnostech nemůže být formulován. Nicméně, sady, rozšíření nebo koncepce byly pochopeny Frege jako patřit k stejnému logickému typu jako všechny ostatní objekty. Pak pro každou sadu vzniká otázka, zda spadá pod koncept, který ji definuje.

Když Frege přijal první dopis Russella, druhý svazek "Základy aritmetiky" už skončil. Byl nucen rychle připravit žádost, která by odpovídala Russellovu paradoxu. Fregeovy příklady obsahovaly řadu možných řešení. Ale dospěl k závěru, že oslabil pojem abstrakce souboru v logickém systému.

V originále bylo možné dospět k závěru, že předmět patří do souboru, pokud a pouze pokud spadá pod koncept, který ho určuje. V revidovaném systému lze konstatovat pouze to, že předmět patří do souboru, a to pouze tehdy, pokud spadá pod pojem definujícího souboru, a nikoliv v daném souboru. Russellův paradox nevyvstává.

Rozhodnutí však Fregeovi zcela nesplnilo. A to byl důvod. O několik let později pro revidovaný systém byla nalezena složitější forma rozporu. Ale ještě předtím, než se to stalo, Frege opustil své rozhodnutí a zdá se, že dospěla k závěru, že jeho přístup byl prostě neuskutečnitelná a ta logika bude muset obejít bez jakýchkoli souborů.

Byly však navrženy další relativně úspěšnější alternativní řešení. Jsou popsány níže.

Teorie typů

Poznamenalo se výše, že Frege měl odpovídající reakci na paradoxy teorie množin ve variantě formulované pro vlastnosti. Fregeova odpověď předcházela nejčastěji diskutované řešení této paradoxní formy. Je založen na skutečnosti, že vlastnosti spadají do různých typů a že druh vlastností není nikdy stejný jako prvky, ke kterým se vztahuje.

Otázkou tedy není ani otázka, zda je majetek použitelný pro sebe. Logický jazyk, který odděluje prvky od takové hierarchie, používá teorii typů. Ačkoli je už Frege používá, bylo to poprvé plně vysvětleno a odůvodněno Russellem v dodatku k principům. Teorie typů byla úplnější než rozlišování mezi úrovněmi Frege. Vlastnosti rozdělil nejen na různé logické typy, ale také na sady. Teorie typů vyřešila rozpor v Russellově paradoxu následovně.

Aby byl filosoficky přiměřený, přijetí teorie typů pro vlastnosti vyžaduje vývoj teorie o charakteru vlastností takovým způsobem, že je možné vysvětlit, proč nemohou být aplikovány na sebe. Na první pohled je rozumné předikovat svůj vlastní majetek. Vlastnost bytí sama totožná, zdá se, je také sama totožná. Vlastnost příjemného vypadá příjemně. Stejně tak se zdá být falešné, že vlastnost být kočkou je kočka.

Nicméně různí myslitelé odůvodnili rozdělení typů různými způsoby. Russell dokonce dal různé vysvětlení v různých obdobích jeho kariéry. Jeho argumentace Fregeho rozdělení různých úrovní pojmů vychází z jeho teorie nenasycení konceptů. Pojmy, jako funkce, jsou v podstatě neúplné. K poskytnutí hodnoty potřebují argument. Člověk nemůže prostě předpovědět jeden koncept pojmem stejného typu, protože stále vyžaduje jeho argument. Například, i když je stále možné extrahovat druhou odmocninu od druhé odmocniny určitého čísla, není možné jednoduše použít druhou kořenovou funkci na druhou kořenovou funkci a získat výsledek.

Na konzervatismus vlastností

Dalším možným řešením vlastního paradoxu je negace existence vlastnictví v souladu s jakýmikoli podmínkami nebo dobře vytvořeným predikátorem. Samozřejmě, pokud se někdo vyhýbá metafyzickým vlastnostem jako objektivním a nezávislým prvkům obecně, pak pokud přijmeme nominalismus, lze paradox zcela vyhnout.

Abyste však vyřešili antinomii, nemusíte být tak extrémní. Logické vyššího řádu systémy vyvinuté Frege a Russell, obsahuje to, co se nazývá koncepční princip, podle kterého každý otevřené vzorce bez ohledu na to, jak složité existuje jako součást majetku nebo koncepce, například, pouze ty, které odpovídají vzorci. Byly aplikovány na atributy libovolné sady podmínek nebo predikátů, bez ohledu na to, jak složité byly.

Přesto, že bylo možné přijmout přísnější metafyziku vlastnosti, dává právo na objektivní existenci jednoduchých vlastností, zahrnující například, jako je červená barva, pevnost, laskavosti a tak dále. D. Dokonce si můžete nechat tyto vlastnosti se vztahují k sobě, jako je laskavost může být laskavý.

A stejný status pro komplexní atributy může být odepřen, například takové „vlastnosti“, jak má sedmnáct hlavy, být napsaný pod vodou a podobně. D. V tomto případě není předem určený stav nesplňuje vlastnost, chápaná jako samostatně stávající prvek, který má své vlastní vlastnosti. Tak lze popřít existenci jednoduchých vlastností je-vlastnost, že-non-použita k sobě a vyhnout paradox použitím více konzervativní metafyzické vlastnosti.

Russellův paradox: řešení

Bylo poznamenáno výše, že na konci svého života Frege zcela opustil logiku setů. To je samozřejmě jedno řešení antinomie ve formě souborů: jednoduché popření existence těchto prvků jako celku. Kromě toho existují další populární řešení, jejichž hlavní detaily jsou uvedeny níže.

Teorie typů pro sady

Jak již bylo zmíněno výše, Russell obhajoval úplnější teorii o typech, které by oddělovaly nejen vlastnosti nebo pojmy do různých typů, ale také množin. Russell rozdělil množiny na soubory jednotlivých objektů, množin souborů jednotlivých objektů atd. Sety nebyly považovány za objekty a soubory sad byly soubory. Sada nikdy neměla typ, který by sám umožnil mít členku. Neexistuje proto žádný soubor všech sad, které nejsou správné, protože pro jakoukoliv sadu je otázka, zda je členem, samo o sobě typovým porušením. Problémem je opět objasnit metafyziku množin, aby bylo možné vysvětlit filozofické základy rozdělení do typů.

Stratifikace

V roce 1937 navrhl VV Quine alternativní řešení, které je v některých ohledech podobné teorii typů. Základní informace o něm je následující.

Separace prvkem, sadami apod. Se provádí tak, že předpoklad nalezení samotného souboru je vždy špatný nebo nesmyslný. Soupravy mohou existovat pouze za předpokladu, že podmínky, které je definují, nejsou porušením typů. Pro Quine tedy výraz "x není členem x" je důležitým výrokem, který nenaznačuje existenci souboru všech elementů x, které splňují tuto podmínku.

V tomto systému existuje sada pro nějaké otevřené vzorce A pouze v případě, že je rozvrstven, t. E. V případě, že proměnné jsou přiřazeny pozitivní celá čísla taková, že pro každého charakteristického výskytu většího počtu předcházelo proměnné je přiřazen přiřazovací jednotka menší než proměnná, následujícího po něm. To blokuje Russellův paradox, jelikož vzorec použitý k určení sady problém, tam je stejná před a po proměnná členství znamení dělat to unstratified.

Nicméně je třeba určit, zda výsledný systém, který Quine nazval "Nové základy matematické logiky", je konzistentní.

Třídění

Zcela jiný přístup se používá v teorii Zermelo - Fraenkel (ZF). I v tomto případě stanovit limit na existenci souborů. Namísto toho se blíží k „top-down“ Russell a Frege, kteří původně myslel, že u všech pojmů, vlastností nebo podmínek může naznačovat existenci množiny všech věcí s tímto majetkem, nebo k úhradě takového stavu, v ZF teorii, začíná všechno „od spodu nahoru.“

Jednotlivé prvky a prázdná sada tvoří množinu. Na rozdíl od raných systémů Russella a Frege tedy FT nepatří do univerzální soupravy, která zahrnuje všechny prvky a dokonce všechny soubory. FT stanovuje přísná omezení existence souborů. Mohou existovat pouze ty, pro které je výslovně předpokládáno nebo které lze sestavit pomocí iteračních procesů atd.

Pak místo konceptu abstrakce naivní sady, která říká, že prvek je zahrnut v určité sadě, a pouze pokud splňuje definici, FF používá princip separace, separace nebo "třídění". Namísto předpokladu existence množiny všech prvků, které bez výjimky splňují určitou podmínku, třídění pro každou již existující množinu označuje existenci podmnožiny všech prvků v původní sadě, která splňuje danou podmínku.

Pak přijde abstrakce princip: v případě, že množina A existuje, pak pro všechna x v A x patří do podmnožiny A, která splňuje podmínku právě tehdy, když x splňuje podmínku C. Tento přístup řeší paradox Russella, protože nemůžeme jednoduše předpokládat, to znamená, že množina všech souborů, které nejsou členy sebe.

Máme množinu sad, abychom ji mohli rozlišovat nebo rozdělit na sady, které jsou samy o sobě a ty, které nejsou, ale protože neexistuje univerzální množina, nejsme spojeni sadou všech sad. Bez předpokladu Russellova problému se nedá prokázat protiklad.

Další řešení

Kromě toho došlo k následné rozšíření nebo modifikace těchto roztoků, jako je například teorie vidlicového typu „Principy matematiky“ expanzních systém „matematická logika“ Quine, stejně jako více nedávný vývoj teorie množin, vyrobený Bernays, Gödel a von Neumanna. Otázka, zda je odpověď na nerozpustné paradox Bertranda Russella nalezen, je stále předmětem diskuse.