Různé způsoby prokázání Pythagorovy věty: příklady, popis a recenze

Jedna věc je jistá sto procent, že otázka, která se rovná druhé mocnině přepony jakýkoliv dospělý odvážně odpovědět: „součet druhých mocnin nohou“ Tato věta se pevně usadila v myslích všech vzdělaných osob, ale stačí jen požádat někoho, aby to dokázal, a mohou to být obtíže. Proto si vzpomeňme a uvažujme o různých způsobech prokázání pythagorské věty.

Stručný přehled biografie

Pythagorova věta je známá téměř všem, ale z nějakého důvodu biografie toho, kdo ji vyrobil, není tak populární. Toto je fixovatelné. Proto před zkoumáním různých způsobů prokázání Pythagorovy věty se člověk musí krátce seznámit s jeho osobností.

Pythagoras - filozof, matematik, myslitel původně z Starověké Řecko. Dnes je velmi obtížné rozlišit jeho biografii od legend, které se staly v paměti tohoto velkého muže. Ale jak vyplývá ze spisů jeho následovníků, Pythagoras of Samos se narodil na ostrově Samos. Jeho otec byl obyčejný kamenista, ale jeho matka pocházela ze vznešené rodiny.

Judging podle legendy, zrození Pythagoras bylo předpověděno ženou jménem Pythia, v jehož čestě oni volali chlapec. Podle její předpovědi musel narozený chlapec přinést lidem mnoho výhod a výhod. Což vlastně udělal.

Narození věty

Ve svém mládí se Pythagoras pohyboval Ostrov Samos do Egypta, aby se tam setkali se slavnými egyptskými mudrci. Po setkání s nimi byl přijat ke studiu, kde se naučil všechny velké úspěchy egyptské filozofie, matematiky a medicíny.

Pravděpodobně to bylo v Egyptě, že Pythagoras byl inspirován majestátností a krásou pyramid a vytvořil svou velkou teorii. To může šokovat čtenáře, ale moderní historici věří, že Pythagoras nedokázal svou teorii. Své znalosti přenesl pouze na následovníky, kteří později dokončili všechny potřebné matematické výpočty.

Ať už to bylo cokoli, dnes není jedinou metodou důkazu této známé věty, ale několika. Dnes můžeme jen odhadnout, jak přesně dávno Řekové provedli výpočty, takže zde zvažujeme různé způsoby prokázání pythagorské věty.

Pythagorova věta

Než začnete provádět výpočty, musíte zjistit, která teorie dokáže. Pythagorova věta zní takto: "V trojúhelníku s jedním úhlem rovným 90^o, Součet čtverců nohou je roven čtverci hypotenze. "

Celkově existuje 15 různých způsobů prokázání pythagorské věty. Toto je poměrně velká postava, takže věnujte pozornost nejoblíbenějším z nich.

Metoda jedna

Nejprve označíme, co nám bylo dáno. Tato data budou rozšířena i na další důkazy Pythagorovy věty, takže stojí za to pamatovat všechny dostupné notace.

Předpokládejme, že vzhledem k obdélníkovému trojúhelníku, s nohama a, b a hypotenuse, rovnající se c. První důkaz je založen na skutečnosti, že obdélník musí nakreslit čtverec.

K tomu je třeba nakreslit segment s katetou na délku nohy a naopak. Mělo by to mít za následek dvě stejné strany čtverce. Zbývá jen kreslit dvě rovnoběžné přímky a čtverec je připraven.

Ve výsledném obrázku musíte nakreslit další čtverec se stranou rovnou hypotenze původního trojúhelníku. Chcete-li to provést, z vrcholů ac a st musí vykreslit dva paralelní segmenty se stejným c. Tak získáme tři strany náměstí, z nichž jedna je hypotenze původního obdélníkového trojúhelníku. Zbývá pouze dotovat čtvrtý segment.

Na základě výsledného čísla lze usoudit, že plocha vnějšího čtverce je (a + b)². Pokud se podíváte dovnitř, můžete vidět, že vedle vnitřního čtverce existují čtyři obdélníkové trojúhelníky. Plocha každého z nich je 0,5 aV.

Proto je tato oblast: 4 * 0.5aв + с²= 2ав + с²

Proto (a + b)²= 2ав + с²

A následně s²= a²+v²

Věta je prokázána.

Druhá metoda: podobné trojúhelníky

Tento vzorec pro důkaz Pythagorovy věty byl odvozen na základě tvrzení z části geometrie na podobných trojúhelnících. Říká se, že katet pravého trojúhelníku je průměrně úměrný jeho hypotenze a segmentu hypotenze vystupující z vrcholu rohu 90^o.

Počáteční data zůstávají stejná, a proto ihned začneme s důkazem. K segmentu SD nakreslíme kolmo na stranu AB. Na základě výše uvedeného tvrzení jsou trojúhelníkové nohy:

AC = radic-AB * AD, CB = radic-AB * DV.

Chcete-li odpovědět na otázku, jak dokázat Pythagorovu větu, musí být důkaz vytvořen rozdělením obou nerovností.

AC²= AB * AD a CB²= AB * DV

Teď musíme doplnit výsledné nerovnosti.

AC²+ NE²= AB * (АД * ДВ), kde АД + ДВ = АВ

Ukazuje se, že:

AC²+ NE²= AB * AB

A následně:

AC²+ NE²= AB²

Důkaz pythagorské věty a různé způsoby jejího řešení vyžadují všestranný přístup k tomuto problému. Tato možnost je však jedna z nejjednodušších.

Další způsob výpočtu

Popis o různých způsobech prokázání Pythagorovy věty nemůže být o nic řečeno, dokud se sami nezačne praktikovat. Mnoho metod poskytuje nejen matematické výpočty, ale také konstrukci nových postav z původního trojúhelníku.

V tomto případě je nutné dokončit další obdélníkový trojúhelník VSD z BC. Takže nyní existují dva trojúhelníky se společnou nohou BC.

Vzhledem k tomu, že oblasti podobných tvarů mají poměr jako čtverce jejich podobných lineárních rozměrů, pak:

S_avs * * * s²- S_avd* v² = S_avd* a²- S_nahoru* a²

S_avs* (s²-v²) = a²* (S._avd-S_nahoru).

s²-v²= a²

s²= a²+v²

Vzhledem k tomu, že z různých způsobů průkazu pythagoreské věty pro stupeň 8 je tato varianta sotva vhodná, lze použít následující postup.

Nejjednodušší způsob, jak dokázat větu Pythagoras. Recenze

Historici věří, že tato metoda byla nejprve použita k prokázání věty i ve starověkém Řecku. Je to nejjednodušší, protože nevyžaduje žádné absolutní výpočty. Pokud je výkres kreslen správně, pak důkaz o tvrzení, že a²+v²= s² , bude jasně vidět.

Podmínky pro tuto metodu se mírně liší od předchozí. Abychom dokázali větu, předpokládejme, že pravý trojúhelník ABC je rovnoramenný trojúhelník.

Vezmeme hypotenzu AS pro stranu náměstí a máme tři ze svých stran. Navíc je třeba na výsledném čtverci nakreslit dvě diagonální čáry. Tak, získat uvnitř to čtyři rovnoramenné trojúhelníky.

K nohám AB a CB musíte také mít dítě na náměstí a nakreslit jednu diagonální čáru v každé z nich. První řádek je vytažen z vrcholu A, druhý řádek je kreslen z C.

Nyní se musíte podívat na výsledný výkres. Vzhledem k tomu, že na hypotenze AS jsou čtyři trojúhelníky, rovnající se původnímu trojúhelníku a na nohách dvěma, to naznačuje pravdivost věty.

Mimochodem, díky této metodě prokázání Pythagorovy věty se objevila slavná fráze: "Pythagoreanské kalhoty jsou stejné ve všech směrech".

Doklad G. Garfielda

James Garfield je dvacátým prezidentem Spojených států amerických. Navíc opustil svou historii v historii jako vládce Spojených států, byl také nadaný samouk.

Na počátku své kariéry byl běžným učitelem ve veřejné škole, ale brzy se stal ředitelem jedné z vyšších vzdělávacích institucí. Touha po vlastním vývoji mu umožnila navrhnout novou teorii o důkazu pythagorské věty. Věta a příklad jejího řešení jsou následující.

Nejprve je třeba čerpat z kusu papíru dva obdélníkové trojúhelníky tak, aby jeden z nich byl pokračováním druhého. Vrcholy těchto trojúhelníků musí být spojeny tak, aby trapezium nakonec dopadlo.

Jak je známo, plocha lichoběžníku se rovná součinu poloviny součtu jeho základů k výšce.

S = a + b / 2 * (a + b)

Pokud zvážíme výsledný lichoběžník jako obrázek tvořený třemi trojúhelníky, pak jeho oblast může být nalezena následovně:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Nyní je nutné vyrovnat dva počáteční výrazy

2ab / 2 + c / 2 = (a + v)²/ 2

s²= a²+v²

Pythagorova věta a metody jejího důkazu mohou být napsány nejen v jednom svazku učebnice. Má však nějaký smysl, když se tyto poznatky nemohou uplatnit v praxi?

Praktické uplatnění Pythagorovy věty

Bohužel, moderní učební osnovy používají tuto větu pouze v geometrických problémech. Absolventi brzy opustí stěny školy, aniž by věděli, a jak mohou uplatnit své znalosti a dovednosti v praxi.

Ve skutečnosti každý může použít Pythagorean větu v jejich každodenním životě. A nejen v profesionální práci, ale také v běžných domácích záležitostech. Podívejme se na několik případů, kdy se pythagorská věta a metody jejího důkazu mohou ukázat jako nesmírně nutné.

Spojení věty a astronomie

Zdá se, jak mohou být hvězdy a trojúhelníky připojeny na papíře. Ve skutečnosti je astronomie vědeckou oblastí, ve které je široce používána Pythagorova věta.

Zvažte například pohyb světelného paprsku v prostoru. Je známo, že světlo se pohybuje v obou směrech stejnou rychlostí. Trajektorie AB, která pohybuje paprskem světla, se nazývá l. A polovina času, kdy se světlo musí dostat z bodu A do bodu B, budeme nazývatt. A rychlost nosníku - c. Ukazuje se, že: c * t = 1

Pokud se podíváme na tento paprsek z jiné roviny, například z kosmické vložky, která se pohybuje rychlostí v, pak s takovým pozorováním těl se změní jejich rychlost. V tomto případě se i pevné prvky pohybují rychlostí v opačným směrem.

Řekněme, že komiksová plavba plávala doprava. Pak body A a B, mezi kterými se paprsek roztáhne, se posunou doleva. Kromě toho, když se paprsek pohybuje z bodu A do bodu B, bod A čas na přechod, a v souladu s tím Světlo přišlo do nového bodu C. Pro zjištění polovinu vzdálenosti, při které je bod A se pohybuje, je třeba znásobit rychlost lodi v poločase paprsek pojezdu (t `).

d = t `* v

A abychom zjistili, jak daleko může procházet paprsek světla, je nutné určit polovinu cesty nové buky a získat následující výraz:

s = c * t `

Představíme-li si, že bod světla C a B, stejně jako kosmické lodi - je vrchol rovnoramenného trojúhelníku, bude segment z bodu A do vložky rozdělit do dvou pravoúhlých trojúhelníků. Proto díky pythagorské vědě lze nalézt vzdálenost, kterou by mohl paprsek světla projít.

s² = l² + d²

Tento příklad samozřejmě není nejúspěšnější, protože pouze jednotky mohou mít to štěstí, že to zkusí v praxi. Zvažte tedy více světských verzí aplikace této věty.

Poloměr přenosu signálu z mobilních zařízení

Moderní život je nemožné si představit bez existence smartphonů. Ale kolik by to pro ně bylo, kdyby se nemohli spojit s účastníky prostřednictvím mobilní komunikace?

Kvalita mobilní komunikace závisí přímo na nadmořské výšce antény mobilního operátora. Pro výpočet vzdálenosti od mobilní věže může telefon přijímat signál, můžete použít Pythagorovskou větu.

Předpokládejme, že chcete najít přibližnou výšku pevné věže, takže se může šířit signál v okruhu 200 kilometrů.

AB (výška věže) = x;

BC (poloměr přenosu signálu) = 200 km;

OS (poloměr zeměkoule) = 6380 km;

Odtud

OB = OA + ABOV = r + x

Při použití věty o Pythagorase zjistíme, že minimální výška věže by měla být 2,3 kilometrů.

Pythagorova věta v každodenním životě

Ironií je, že Pythagorova věta se může ukázat jako užitečná iv každodenních záležitostech, například při určování výšky skříně. Na první pohled není třeba používat takové složité výpočty, protože můžete jednoduše provádět měření pomocí rulety. Ale mnozí se ptají, proč v procesu montáže existují určité problémy, pokud by všechna měření byla provedena víc než přesně.

Skutečnost spočívá v tom, že skříň je sestavena ve vodorovné poloze a teprve potom stoupá a připevňuje se ke zdi. Proto musí boční stěna skříně během zvedání konstrukce volně procházet jak ve výšce, tak diagonálně v místnosti.

Předpokládejme, že je zde šatna o hloubce 800 mm. Vzdálenost od podlahy k stropu je 2600 mm. Zkušený výrobce nábytku říká, že výška skříně by měla být o 126 mm nižší než výška místnosti. Ale proč na 126 mm? Zvažte příklad.

Zkontrolovat efekt Pythagorovy věty o ideální rozměry skříně:

AC = radic-AB²+radic-slunce²

AC = radic-2474²+800²= 2600 mm - vše se sbližuje.

Předpokládejme, že výška skříně není 2474 mm, ale 2505 mm. Pak:

AC = radic-2505²+radic-800²= 2629 mm.

Tato skříňka proto není vhodná pro instalaci v této místnosti. Stejně jako při zvedání do svislé polohy můžete poškodit její tělo.

Možná, když jsme uvažovali o různých způsobech prokázání věty Pythagoras různými vědci, můžeme usoudit, že je to více než pravdivé. Nyní můžete použít informace obdržené ve vašem každodenním životě a být zcela přesvědčený, že všechny výpočty budou nejen užitečné, ale také pravdivé.