Fyzický význam derivace funkce. Úkoly pro fyzický význam derivátu: příklady řešení

Matematické problémy se nacházejí v mnoha vědách. Patří sem nejen fyzika, chemie, technologie a ekonomie, ale i medicína, ekologie a další disciplíny. Jedním z důležitých pojmů, které bychom se měli naučit s cílem nalézt řešení důležitých dilemat, je odvozenina funkce. Fyzický význam toho není vůbec tak obtížný, jako by se to mohlo zdát nezasvěcené v podstatě věci. Stačí pouze najít vhodné příklady toho v reálném životě a běžných každodenních situacích. Ve skutečnosti se každý řidič s touto úlohou každý den vyrovnává, když se podívá na rychloměr a určí rychlost svého vozu v určitém okamžiku stanovené doby. V tomto parametru spočívá podstata fyzického významu derivátu.

Jak najít rychlost

Určete rychlost osoby na silnici, věděli jste o ujeté vzdálenosti a časech na silnici, snadno snadno zjistíte, jakýkoliv pátý stupeň. K tomu je první z uvedených hodnot rozdělena na druhou. Ale ne každý mladý matematik ví, že v okamžiku najde poměr přírůstků funkce a argumentu. Pokud skutečně reprezentujeme pohyb v podobě grafu, položíme cestu podél osy osy a čas podél osy osy, to bude přesně tak.

Rychlost chodce nebo jiného objektu, který definujeme na velké části cesty, za předpokladu, že se jedná o jednotný pohyb, se však může lišit. Ve fyzice je známo mnoho forem pohybu. Může k němu dojít nejen s konstantním zrychlením, ale také s libovolným zpomalením a nárůstem. Je třeba poznamenat, že v tomto případě linka popisující pohyb již nebude přímkou. Graficky dokáže přijímat nejsložitější konfigurace. Ale pro některý z bodů grafu můžeme vždy nakreslit tangenci představovanou lineární funkcí.

Pro objasnění parametru změny pohybu jako funkce času je nutné zkrátit měřené segmenty. Když se stanou nekonečnými, vypočtená rychlost bude okamžitá. Tato zkušenost nám pomáhá dát definice derivátu. Fyzický význam toho také logicky vyplývá z podobných úvah.

Z hlediska geometrie

Je známo, že čím vyšší je rychlost těla, tím vyšší je graf závislosti závislosti posunutí na čase, a tudíž úhel sklonu dotyku na graf v určitém konkrétním bodě. Ukazatelem těchto změn může být tečna úhlu mezi osou abscise a tečnou. Určuje hodnotu derivátu a vypočte se poměrem délky protilehlé k sousední nožce v pravoúhlém trojúhelníku tvořeném kolmým klesáním od určitého bodu k úsečce.

Toto je geometrický význam prvního derivátu. Fyzická je odhalena ve skutečnosti, že velikost protilehlé nohy je v našem případě traverzou cestou a sousední je čas. V tomto případě je jejich poměr rychlostí. A znovu dospíme k závěru, že okamžitá rychlost, určená úsilím obou mezer k nekonečně malému, je podstatou koncepce derivátu, což naznačuje jeho fyzický význam. Druhou derivací v tomto příkladu je zrychlení těla, což zase ukazuje stupeň změny rychlosti.

Příklady nalezení derivátů ve fyzice

Derivát je indikátorem rychlosti, s jakou se nějaká funkce mění, i když to není záležitost pohybu v doslovném slova smyslu. Pro ilustraci uvádíme několik konkrétních příkladů. Předpokládejme, že aktuální síla v závislosti na čase se liší podle následujícího zákona: I = 0,4 t². Je nutné najít hodnotu rychlosti, se kterou se tento parametr změní na konci 8. sekundy procesu. Poznamenáváme, že samotné množství, jak je posuzováno z rovnice, se neustále zvyšuje.

Pro řešení je nutné nalézt první derivát, jehož fyzický význam byl považován za dřívější. Tady dI/dt = 0,8t. Dále nás najdete na adrese t= 8, zjistíme, že rychlost, s jakou se mění proud, se rovná 6.4 A/c. Zde se předpokládá, že proud je měřen v ampérech a čas v sekundách.

Vše je vyměnitelné

Viditelný okolní svět, skládající se z hmoty, neustále prochází změnami, je v pohybu různých procesů, které se v něm odehrávají. K jejich popisu lze použít různé parametry. Pokud jsou kombinovány vztahem, jsou matematicky psány jako funkce, která vizuálně zobrazuje jejich změny. A kde je hnutí (v jakékoliv podobě), existuje derivát, jehož fyzický význam nyní zvažujeme.

V tomto ohledu uvádíme následující příklad. Řekněme, že tělesná teplota se mění podle zákona T= 0,2t². Je třeba zjistit rychlost vytápění na konci 10. sekundy. Řešení problému se provádí analogickým způsobem, jaký byl popsán v předchozím případě. To znamená, že nalezneme derivát a nahradíme v něm hodnotu prot = 10, dostaneme T = 0,4t = 4. Konečná odpověď je tedy 4 stupně za sekundu, tj. Proces ohřevu a změna teploty měřené ve stupních, nastává právě při této rychlosti.

Řešení praktických problémů

Samozřejmě, ve skutečnosti je vše mnohem složitější než v teoretických problémech. V praxi se hodnota množství určuje obvykle během experimentu. Současně se používají přístroje, které indikují měření při určité chybě. Proto se ve výpočtech musí jednat o přibližné hodnoty parametrů a uchýlit se k zaokrouhlování nepohodlných čísel, stejně jako další zjednodušení. Vezmeme to na vědomí, opět zahájit úkol fyzikální význam derivace, vzhledem k tomu, že jsou jen určitý druh matematického modelu vyskytující se v přírodě složitých procesů.

Sopečná erupce

Představte si, že dochází k vulkanické erupci. Kolik to může být nebezpečné? K objasnění tohoto problému je třeba zvážit mnoho faktorů. Budeme se snažit vzít v úvahu jednu z nich.

Z úst "ohnivého monstra" jsou kameny hozeny vertikálně vzhůru, s počáteční rychlostí od okamžiku, kdy vystupují směrem ven 120 m / s. Je třeba vypočítat, jak mohou dosáhnout maximální výšky.

Chcete-li najít požadovanou hodnotu, vytvoříme rovnici závislosti na výšce H, měřené v metrech, na dalších veličinách. Zahrnují počáteční rychlost a čas. Předpokládá se, že hodnota zrychlení je známá a přibližně rovná 10 m / s².

Částečný derivát

Teraz považujeme fyzický význam derivátu funkce za malou z druhé strany, protože rovnice sama o sobě nemůže obsahovat jednu, ale několik proměnných. Například v předchozím problému byla závislost výšky lezení kamenů vyzařovaných z průduchů sopky určena nejen změnou časových charakteristik, ale také hodnotou počáteční rychlosti. Ta byla považována za konstantní, pevnou hodnotu. Ale v jiných problémech s úplně jinými podmínkami může být všechno jiné. Pokud jsou hodnoty, na kterých závisí komplexní funkce, několik, výpočty se provádějí podle níže uvedených vzorců.

Musí být určen fyzický význam častého derivátu, jako v obvyklém případě. Toto je rychlost, při které se funkce mění v určitém bodě, jak se parametr zvyšuje. Vypočítá se tak, že všechny ostatní složky jsou považovány za konstanty, pouze jedna je považována za proměnnou. Pak se všechno děje podle obvyklých pravidel.

Nezastupitelným poradcem v mnoha otázkách

Pochopení fyzického významu derivátu, příkladů řešení komplexních a složitých problémů, odpovědi, ve které lze najít podobné znalosti, je snadné dát. Máme-li funkci, která popisuje spotřebu paliva v závislosti na rychlosti vozidla, můžeme vypočítat s jakými parametry bude poslední spotřeba benzinu nejmenší.

V medicíně lze předvídat, jak lidské tělo reaguje na předepsané léky. Užívání léku ovlivňuje různé fyziologické ukazatele. Patří mezi ně změny krevního tlaku, srdeční frekvence, tělesná teplota a mnoho dalšího. Všichni závisí na dávce užívané drogy. Tyto výpočty pomáhají předvídat průběh léčby jak v příznivých projevech, tak v nežádoucích nehodách, které mohou fatálně ovlivnit změny v těle pacienta.

Nepochybně je důležité pochopit fyzický význam derivátu v technických záležitostech, zejména v elektrotechnice, elektronice, stavebnictví a stavebnictví.

Brzdná vzdálenost

Zvažme další úkol. Při pohybu konstantní rychlostí se vozidlo přiblížilo mostu a bylo nuceno zastavit 10 sekund před jeho vstupem, protože řidič si všiml dopravní značku, která zakazuje dopravu rychlostí vyšší než 36 km / h. Ovládal řidič porušení pravidel, pokud je brzdná vzdálenost popsána vzorcem S = 26t - t²?

Při výpočtu prvního derivátu nalezneme vzorec pro rychlost, získáme v = 28 - 2t. Dále nahradit hodnotu t = 10 v uvedeném výrazu.

Vzhledem k tomu, že tato hodnota byla vyjádřena v sekundách, je rychlost 8 m / s, což znamená 28,8 km / h. To umožňuje pochopit, že šofér začal brzdění včas a neporušoval pravidla pohybu, a tudíž i limit uvedený na znamení rychlosti.

To dokazuje význam fyzického významu derivátu. Příklad řešení tohoto problému demonstruje rozsah použití tohoto konceptu v různých sférách života. Včetně v každodenních situacích.

Derivát v ekonomice

Až do devatenáctého století hospodařili především na průměrných hodnotách, ať už jde o produktivitu práce nebo o ceny vyráběných výrobků. Ale z určitého bodu, aby se v této oblasti provedly účinné předpovědi, byly mezní hodnoty stále více nutné. Patří mezi ně okrajové užitečnosti, příjmy nebo náklady. Pochopení této skutečnosti dalo impuls k vytvoření zcela nového nástroje v oblasti ekonomického výzkumu, který existuje a vyvíjí se již více než sto let.

Pro sestavení takových výpočtů, kde takové pojmy převažují, alespoň a maximálně, je prostě nezbytné pochopit geometrický a fyzický význam derivátu. Mezi zakladatele teoretické základny těchto oborů jsou tak významní angličtí a rakouští ekonomové jako US Jevons, K. Menger a další. Samozřejmě, limitní hodnoty v ekonomických výpočtech nelze vždy používat pohodlně. A například čtvrtletní zprávy nemusí nutně zapadat do stávajícího systému, avšak uplatnění takové teorie je v mnoha případech užitečné a účinné.