Co jsou čísla s pohyblivou čárkou?

Prezentace reálných (či reálných) čísel, kde jsou uloženy jako mantisa a exponent jsou plovoucí desetinnou čárkou (možná místa, jak je to obvyklé v anglicky mluvících zemích). Přes to, že číslo je opatřen pevnou relativní přesností a měnící se absolutní. Reprezentace, která se používá nejčastěji, která byla schválena standardní IEEE 754. matematických operací, které používají čísla s plovoucí desetinnou čárkou jsou implementovány v výpočetních systémů - hardware i software.

Bod nebo čárka

Podrobný seznam oddělovač desetinných míst identifikuje ty anglicky mluvících zemích a anglofitsirovannye, ve kterých jsou vedeny záznamy o číslech oddělených nepatrná část celého bodu, protože terminologie z těchto zemí přijala jméno s plovoucí desetinnou čárkou - „plovoucí řádovou čárkou“. V Ruské federaci, nepatrná část celé tradice, oddělené čárkou, takže to představuje stejný koncept historicky poznal termín „plovoucí desetinnou čárkou“. Nicméně dnes v technické dokumentaci i v ruštině je oba tyto varianty zcela přijatelné.

Pod pojmem „floating point“ pochází ze skutečnosti, že poziční číslo reprezentace je čárka (normální desítkové nebo binární - počítač), který se vejde kamkoli mezi čísly linek. Tato funkce je určitě ji stanovit odděleně. To znamená, že reprezentace s plovoucí desetinnou čárkou lze považovat za implementaci počítačového exponenciálním zápisu. Výhodou použití takového znázornění formátu zobrazení s pevnou řádovou čárkou a celých čísel, které rozsah hodnot významně roste, když se, že relativní přesnost zůstává beze změn.

Příklad:

V případě, že čárka v počtu pevných a vypálit je to jen jeden formát. Například, vzhledem k tomu, trochu šest v řadě a dvě číslice v nepatrné části. To lze provést pouze tímto způsobem: 123.456,78. Formát s plovoucí desetinnou čárkou dávat plný prostor pro vyjádření. Například, vzhledem k tomu, stejné osm číslic. volby pro záznam může být jakákoliv, pokud programátor nedělá dvoumístného šetřit duty další pole, kde se bude zaznamenávat exponenty, které jsou obvykle 10, a od 0 do 16, a vypouštění přičemž celkový počet bude deset 8 + 2.

Některá provedení záznamu, který umožňuje formátovat čísla s plovoucí desetinnou čárkou: 12345678000000000000- 0,0000012345678- 123,45678- 1.2345678 a tak dále. Tento formát má dokonce i jednotku měření rychlosti! Spíše rychlost počítačového systému, která určuje rychlost, se kterou počítač provádí operace, kde je znázorněno číslo s pohyblivou čárkou. Měří tuto rychlost v jednotkách FLOPS (operace s pohyblivou řádovou čárkou za sekundu, což se vyjadřuje jako počet operací za sekundu s čísly s pohyblivou čárkou). Tato jednotka je hlavní zařízení pro měření rychlosti počítačového systému.

Struktura

číslo záznamu v plovoucím formátu bodě je třeba takto, pozorování sekvenci povinných částí, protože tento záznam je exponenciální, který znázorňuje reálných čísel jako mantisy a pořadí. Toto je nutné reprezentovat příliš velké a příliš malé množství, je mnohem pohodlnější je číst. Požadované části: zaznamenaný počet (N), mantisa (M), je pořadí označení (P) a pořadí (n). Poslední dva znaky tvoří charakteristiku čísla. Proto N = M ^. n^str. Čísla s plovoucí čárkou jsou zapsána. Příklady se budou lišit.

1. Je třeba zapsat číslo jedna milionu, aby nedošlo k záměně v nulách. 1000000 je normální vstup, aritmetický. Počítač vypadá takto: 1.0 ^. 10^6.. To znamená, že deset v šestém stupni - tři znaky, které splňují až šest nul. Takto jsou reprezentovány čísla pevných a pohyblivých bodů, kde můžete okamžitě zjistit rozdíly v pravopisu.

2. A tak obtížné číslo jako 1435000000 (jedna miliarda čtyři sta třicet pět tisíc) lze také jednoduše zapsat: 1,435 ^. 10^9., pouze. Stejně tak s mínusovým znaménkem můžete napsat libovolné číslo. Zde se čísla pevných a pohyblivých bodů navzájem liší.

Ale to jsou velké počty, jak se vypořádat s malými? Ano, příliš snadné.

3. Například, jak označit jeden milionth? 0.000001 = 1.0 ^. 10^-6.. Významně usnadňuje psaní čísla a jeho čtení.

4. A složitější? Pět set šedesát šest miliard: 0.000000546 = 546 ^. 10^-9.. Tady. " Rozsah zobrazení čísel s pohyblivou čárkou je velmi široký.

Formulář

Forma čísla může být normální nebo normalizovaná. Normální - vždy respektuje přesnost čísel s pohyblivou čárkou. Je třeba poznamenat, že mantisa v této podobě, bez ohledu na znamení, je v polovině intervalu: 0 1, tedy 0 ⩽ a < 1. Číslo neztrácí přesnost v normální podobě. Nevýhodou normální formy čísla je to, že mnoho čísel může být napsáno různými způsoby, to znamená nejednoznačnými. Příklad jiného záznamu se stejným číslem: 0.0001 = 0, 000001 ^. 10² = 0,00001 ^. 10¹ = 0,0001 ^. 10⁰ = 0,001 ^. 10^-1 = 0,01 ^. 10^-2 a tak můžete ještě hodně. To je důvod, proč se počítač používá jinou normalizovanou notaci, kde se mantisa desítkové předpokládá hodnotu jednotek (včetně), a tak do deseti (není součástí balení), a stejným způsobem mantisa binární číslo má hodnotu mezi jedním (včetně) do dvou (ne včetně).

Proto 1 ⩽ a < 10. Toto - binární čísla s plovoucí čárkou a tato forma psaní libovolného čísla (s výjimkou nuly) opravuje jedinečně. Existuje však také nevýhoda - nemožnost v této podobě je nulová. Počítačová věda proto poskytuje číslo 0 pro použití speciální charakteristiky (bit). Celková část čísla (nejvyšší číslice) mantisy v binárním čísle s výjimkou nuly v normalizované podobě je 1 (implicitní jednotka). Tento záznam je použit standard IEEE 754. císla systém, vyznačující se tím, že bází je větší než dva (ternární, kvartérní a jiné systémy), tato vlastnost se nekupuje.

Reálná čísla

Reálných čísel s plovoucí desetinnou čárkou a jsou obvykle stejně to není jen jeden, ale velmi pohodlný způsob, jak reprezentovat reálné číslo, jak to bylo, kompromis mezi rozsahu hodnot a přesnosti. To je analogické exponenciálnímu záznamu právě provedenému v počítači. Číslo s plovoucí čárou je množina jednotlivých bitů oddělených znamení (znak), objednávat (exponent) a mantisa (mantis). Mezi nejčastější formát je IEEE číslo 754 s plovoucí desetinnou čárkou za sadu bitů, které kódují část jeho mantisy, na straně druhé - stupeň a jeden bit indikuje znaménko čísla: nula - jestliže to je pozitivní, jednotka - pokud je číslo záporné. Celý postup se zaznamená číslem (kód směny) a mantisa - v normalizovaném tvaru, jeho desetinnou část - v binárním systému.

Každý znak je jeden bit, který označuje znaménko pro číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Mantisa a pořadí jsou celá čísla, jsou kombinována se znaménkem a reprezentují číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Pořadí lze nazvat exponent nebo exponent. Ne všechna reálná čísla mohou být v počítači zobrazena v jejich přesném významu, zatímco ostatní jsou reprezentovány přibližnými hodnotami. Mnohem jednodušší variantou je reprezentovat reálné číslo s pevným bodem, kde jsou skutečné a celé části uloženy samostatně. S největší pravděpodobností tak, že celá část je vždy přidělena X bitům a frakčním - Y bitům. Ale architektury procesorů tuto metodu nezná, takže je preferováno číslo s plovoucí desetinnou čárkou.

Přidání

Přidání čísel s pohyblivou čárkou je poměrně jednoduché. V souvislosti se standardním single přesného počtu IEEE 754 má velký počet bitů, takže je lepší přejít na příkladech, s lepším nápadem vzít nejmenší číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Například dvě čísla - X a Y.

Kroky jsou následující:

a) Čísla musí být prezentována v normalizované podobě. Je zřejmé, že se objeví skrytá jednotka. X = 1,110 ^. 2², a Y = 1000 ^. 2⁰.

b) pokračovat v procesu kompozice může vyrovnat pouze vystavovatele, ale musí přepsat hodnotu Y. To bude odpovídat hodnotě normalizovaných čísel, i když ve skutečnosti - unnormalizes.

Vypočte se rozdíl mezi exponenty stupeň 2 - 0 = 2. Nyní přesunout mantisa kompenzovat tyto změny, to znamená, že se přidají 2 do indexu druhého období, čímž se pohybuje čárka skryté jednotky ve dvou bodech na levé straně. Ukazuje 0,0100 ^. 2². To bude ekvivalentní s předchozí hodnotou Y, tedy již Y `.

c) Nyní musíme skládat mantisu čísla X a upraveného Y.

1,110 + 0,01 = 10,0

Exponent se stále rovná zobrazenému indikátoru X, který se rovná 2.

g) částka obdržená v předchozím kroku, posunuly normalizace jednotku, pak se budete muset posunout exponent sumu a opakovat. 10.0 se dvěma bity nalevo od desetinné čárky, číslo je nyní nutné normalizovat, tj přesunout čárku doleva o jeden bod, a exponent, v tomto pořadí, zvýší o 1. Ukazuje se, 1000 ^. 2³.

e) Je čas převést číslo s plovoucí desetinnou čárkou na jeden bajtový systém.

Závěr

Jak můžete vidět, přidejte tato čísla nejsou příliš těžké, cokoliv, co plave čárku. Není-li, samozřejmě s výjimkou přinášet množství nižším exponentem mezi více (ve výše uvedeném příkladu, bylo to Y x), jakož i obnovení statu quo, tedy v otázce náhrady - posunout desetinnou čárku doleva mantisy. Když již byla použita přídavek, je velmi pravděpodobné, a ještě jeden problém - perenormirovanie a zkrácení bit, pokud jejich počet neodpovídá počtu jej zastupovat.

Násobení

Binární zápis nabízí dva způsoby, jak znásobovat čísla s pohyblivou čárkou. Tento úkol lze provést vynásobením, které začíná nejnižšími čísly a začíná nejvyššími číslicemi násobitele. Oba případy obsahují celou řadu operací, které postupně sčítají soukromé práce. Tyto doplňkové operace jsou řízeny bity multiplikátoru. Pokud tedy existuje jedna v jednom číslici multiplikátoru, součtem dílčích produktů se vynásobí odpovídajícím posunem. A pokud je nulka vynásobena multiplikátorem, pak multiplikace není přidána.

Je-li násobení prováděna jen dvě čísla, součin čísel v její výše nesmí překročit počet číslic obsažených v faktorů, více než dvakrát, a pro velké množství, že je velmi, velmi mnoho. Pokud se vynásobí více čísel, pak výrobek riskuje, že nebude umístěn na obrazovku. Vzhledem k tomu, počet bitů z jakéhokoli digitálního přístroje je velmi omezený, a to nutí omezit maximálně dvojnásobku počtu výbavy číslic. A pokud je počet čísel omezen, do práce se nezbytně zapíše chyba. Pokud je objem výpočtů velký, pak jsou chyby překrývají a v důsledku toho se celková chyba výrazně zvyšuje. Zde je jediný způsob, jak ukončit výsledky násobení, a potom se chyba produktu stane střídavým. Když operace násobení, je možné jít nad rámec sítě číslic, ale jen mladší, protože tam je stanovený limit na počet, z nichž jsou zastoupeni ve formě pevného bodu.

Několik vysvětlení

Začněte lépe nejprve. Nejběžnější způsob reprezentování čísla je řetězec číslic jako celé číslo, kde čárka je určena na samém konci. Tato čára může mít libovolnou délku a čárka je pro ni nejdůležitějším místem, odděluje celé číslo od jeho zlomkové části. Formát reprezentace pevných bodů systému nutně uvádí určité podmínky o umístění čárky. Exponenciální notace používá standardní normalizovanou reprezentaci čísel. Toto je q n { displaystyle aq ^ {n}} aqⁿ. Zde je { displaystyle a}^a, a tato krajka se nazývá mantisa. Přesně to bylo řečeno, že 0 ⩽ a < q. Všechno by mělo být již jasné: n {/ displaystyle n}ⁿ - celé číslo, exponent a q {/ displaystyle q}^q - také celý, který je základem daného číselného systému (a v dopise je obvykle 10). V mantisě bude ponecháno čárka po první číslici, která není nula, ale další informace jsou zaznamenány na skutečné hodnotě čísla.

Číslo s plovoucí čárkou je velmi podobné standardní standardní notaci pro čísla, pouze exponent a mantis jsou psány samostatně. Ta je také v normalizovaném formátu - s pevnou čárkou, která zdobí první významnou číslici. Jen plovoucí desetinnou čárkou se používá především v počítači, který je v elektronické reprezentaci, kde není systém desítkovou a binární, kde i Mantisa denormalize předělaný bod - nyní je před první číslicí, pak dříve, ne až po něm, kde celá část v zásadě to nemůže být. Například náš nativní desítkový systém dá devíti do binárního systému pro dočasné použití. A píše to s plávajícím mantistem takto: +1001000 ... 0 a +0 ... 0100 k tomu. Desítkový systém však nemůže v binárním formátu vytvářet takové složité výpočty s využitím tvaru s plovoucí čárou.

Dlouhá aritmetika

V elektronických počítačích jsou vestavěné softwarové balíčky, kde je naprogramováno množství paměti přidělené pro mantisu a exponent, omezené pouze na velikost paměti počítače. Tak vypadá dlouhá aritmetika, tj. Jednoduché operace na číslech prováděných počítačem. Jedná se o totéž - odčítání a sčítání, dělení a násobení, elementární funkce a stavba v kořene. Ale pouze čísla jsou zcela odlišná, jejich bitová hloubka může výrazně převyšovat délku počítačového slova. Implementace takových operací není hardware, ale software, ale základní hardware je široce používán při práci s číselně mnohem nižšími objednávkami. Tam je také aritmetika, kde délka čísel je omezena pouze na množství paměti - libovolná přesnost aritmetika. V mnoha oblastech se používá dlouhá aritmetika.

1. Chcete-li kompilovat kód (procesory, mikroprocesory s nízkou bitovou hloubkou - 10-bitových registrů a osmibitového délkou slova, nestačí zpracovávat informace z analogového signálu na digitální (analogově-digitální převodník), a proto se neobejde bez dlouhého aritmetiky.

2. Dále se pro kryptografii používá dlouhá aritmetika, kde je nutné zajistit přesnost výsledku zvedání na výkon nebo násobení až 10³⁰⁹. Celočíselná aritmetika se používá modulo m - velké přirozené číslo a není nutně jednoduché.

3. Software pro finančníky a matematiky také nemůže dělat bez dlouhé aritmetiky, protože jen tak můžete ověřit výsledky výpočtů na papíře - pomocí počítače, poskytující vysokou přesnost čísel. Plovoucí bod mohou čerpat tak dlouho, jak je požadováno. Inženýrské výpočty a práce vědců však zřídka vyžadují zásah výpočtů softwaru, protože je velmi obtížné zadávat vstupní data bez chyb. Obvykle jsou mnohem větší než výsledky zaokrouhlování.

Bojové chyby

Při operacích s čísly, ve kterých čárka pluje, je velmi obtížné odhadnout chybu výsledků. Dosud nebyla vyvinuta matematická teorie uspokojující vše, co by pomohlo vyřešit tento problém. Chyby s celočíselnými čísly lze snadno vyhodnotit. Možnost zbavit se nepřesností leží na povrchu - používejte pouze čísla s čárkou. Finanční programy jsou například založeny na tomto principu. Nicméně je to jednodušší: požadovaný počet číslic za desetinnou čárkou je předem znám.

Jiné aplikace nemohou být omezeny na to, protože nelze pracovat s velmi malými nebo velmi velkými čísly. Proto při práci je vždy bráno v potaz, že jsou možné nepřesnosti, a proto je nutné při odvozování výsledků zaokrouhlit výsledky. Automatické zaokrouhlení je navíc často nedostatečnou akcí, a proto je zaokrouhlení nastaveno speciálně. Srovnávací operace je v tomto ohledu velmi nebezpečná. Dokonce i pro posouzení velikosti budoucích chyb je velmi obtížné.