Pátý postulát Euclidu: formulace

Předpokládá se, že první lidské civilizace se objevily před 10 000 lety. Ve srovnání s věkem naší planety, která je podle vědců asi 4,54 milionu let, je to jen krátká chvíle. Pro tento "okamžik" lidstvo udělalo obrovský skok od primitivních kamenných nástrojů k meziplanetární kosmické lodi. Bylo by nemožné, kdyby se z času na čas na planetě nevznikly géniové, pohybující se vědy dopředu. Mezi nimi je samozřejmě Euclid. Jeho práce se staly základem a silným impulsem pro rozvoj moderní matematiky.

Tento článek je věnován pátému postulátu Euclidu a jeho historii.

Jak se objevila geometrie

Vzhledem k tomu, že se pozemky staly předmětem prodeje a pronájmu, musela být měřena jejich velikost a plocha včetně výpočtu. Kromě toho se tyto výpočty staly nezbytnými pro konstrukci velkoplošných konstrukcí i pro měření objemu různých položek. Toto všechno se stalo předpokladem pro vznik 3-4 tisíciletí v Egyptě a Babylonu v umění zeměměřictví. Bylo to empirické a představovalo soubor příkladů řešení několika set specifických problémů bez jakýchkoli důkazů.

Jako systematická věda se geometrie vyvinula ve starověkém Řecku. Do třetího století před naším letopočtem bylo velké množství faktů a důkazů. Současně se objevil úkol generalizovat shromážděný dostatečně velký geometrický materiál. Hippocrates, Fediy a jiní starověcí řeckí filozofové se ho snažili vyřešit. Nicméně logicky kalibrovaný vědecký systém se objevil asi kolem 300 př.nl. e. s publikací "Prvky".

Kdo byl Euclid

Starověké Řecko dalo světu mnoho z největších filozofů a vědců. Jedním z nich je Euclid, který se stal zakladatelem Alexandrijské matematické školy. Prakticky není známo nic o samotném vědci. Některé zdroje uvádějí, že mladí budoucí otec moderní geometrie studovali v proslulé škole Plato v Aténách, a pak se vrátil do Alexandrie, kde pokračoval ke studiu matematiky a optiky, stejně jako skládání hudby. Ve svém rodném městě založil školu, kde spolu se studenty a vytvořil jeho slavnou práci, která již více než dva tisíce let je základem pro jakoukoli učebnice rovině geometrii a geometrii.

"Začátek" Euclidu

Hlavní a nejdůslednější práce na geometrii se skládá ze 13 svazků. První a čtyři knihy se zabývají planimetrií a 11., 12. a 13. jsou stereometrie. Pokud jde o zbývající svazky, jsou věnovány aritmetice, která je dána z hlediska geometrických postulátů.

Úloha Euclidovy hlavní práce v následném vývoji matematických věd nemůže být přeceňována. Několik seznamů papyru z původních i byzantských rukopisů se dostalo k nám.

Ve středověku byly "prvky" Euclidu studovány především Araby, kteří je považovali za jedno z největších prací lidského myšlení a sám vědce, který je obyvatelem Damašku. Mnohem později tyto práce zajímají Evropany. S příchodem knižního tisku věda včetně geometrie Euclidu přestala být majetkem pouze vyvolených. Po prvním vydání v roce 1533 se "Elements" stalo dostupným každému, kdo chtěl poznat svět, a každý rok se stal stále více a více. Poptávka vyvolala návrh, takže se věří, že tato práce je druhým z nejčtenějších starověkých památek po bibli.

Některé funkce

"Počátky" popisují metrické vlastnosti trojrozměrného, ​​prázdného, ​​nekonečného a izotropního prostoru, který se běžně nazývá Euclidean. To je považováno za arénu, kde se objevují jevy klasické fyziky Galilea a Newtonu.

Základním geometrickým objektem podle Euclida je bod. Druhým důležitým pojmem je nekonečno prostoru, který je charakterizován třemi prvními postuláty. Čtvrtina se týká rovnosti pravých úhlů. Pokud jde o pátý postulát Euclidu, určuje vlastnosti a geometrii euklidovského prostoru.

Podle vědců, klasická geometrie otec vytvořil perfektní učebnice, jehož studium vyloučit nedorozumění materiálu z důvodu způsobu jeho prezentace. Zejména každá sada "Počátky" začíná definicí pojmů, které se poprvé setkaly. Zejména z prvních stránek 1. knize se čtenář dozví, že bod, přímka, rovná a tak dále. Celkově má ​​23 definice potřebné k pochopení hlavních ustanovení materiálu uvedených v této základní práci.

Axiomy a první čtyři postuláty Euclidu

Po definicích autor "Nachal" cituje vety, které jsou přijaty bez důkazu. Rozdělí je do axiomů a postulátů. První skupina se skládá z 11 prohlášení, které jsou člověku intuitivně známy. Například osmý axiom uvádí, že celek je větší než část a podle prvního jsou dvě stejné množství, které jsou odděleně stejné jako třetí.

Navíc Euclid dává 5 postulátů. První čtyři četla:

• od kteréhokoli místa k jinému může nakreslit přímku;
• Z jakéhokoli středu libovolného poloměru je možné popsat kruh;
• ohraničená čára může pokračovat po celé přímce;
• všechny pravé úhly jsou stejné.

Pátý postulát Euclidu

Již více než dvě tisíciletí, toto tvrzení opakovaně stala předmětem pozornosti matematiků. Nejprve se však seznámíme s obsahem pátého postulátu Euclida. Tak, v moderním formulaci, že to zní, jako by se v letadle na křižovatce dvou přímých jednostrannému třetí součtu vnitřních úhlů menší než 180 °, pak tyto řádky, zatímco pokračuje dříve či později setkat na té straně, na které se toto množství (objem) menší než 180 °.

Pátý postulát Euclidu, jehož formulace v různých zdrojích je dána odlišně, od počátku způsobila sport a touhu překládat ji do kategorie věty budováním důvěryhodného důkazu. Mimochodem, je často nahrazen jiným výrazem, který skutečně vynalezl Proclus a známý také jako axiom hry Playfair. Říká se, že v rovině přes bod, který nepatří k dané čáře, je možné nakreslit jedinou přímku rovnoběžnou s touto čárou.

Formulace

Jak již bylo zmíněno, mnozí vědci se pokusili vyjádřit myšlenku 5. postulátu Euclidu jiným způsobem. Mnoho formulací je zcela zřejmé. Například:

• blížící se přímé linie se protínají;
• existuje nejméně jeden obdélník, to je 4-gon se čtyřmi pravými úhly;
• každá část může být proporcionálně zvýšena;
• Existuje trojúhelník s libovolnou velikostí libovolné velikosti.

Nevýhody

Geometrie Euclidu se stala největším matematickým dílem starověku a až do 19. století vládla nejvyšší v matematice. Navzdory tomu některé jeho nedostatky poznamenaly současní autoři a starověcí řečtí učenci, kteří o něco později žili. Archimedes zejména přidal novou axiom nazvanou jeho jméno. Říká se, že pro libovolné segmenty AB a CD existuje přirozené číslo n takové, že nmiddot- [AB]> [CD].

Navíc se vědci snažili minimalizovat systém euklidovských postulátů a axiomů. Aby to udělali, některé z nich přinesli zbytek.

Takže bylo možné "zbavit se" 4. postulátu o rovnosti pravých úhlů. Pro něj byl nalezen přísný důkaz a stal se teoretikem.

Historie 5. postulátu ve starověku av raném středověku

Klasická formulace tohoto prohlášení o geometrii Euclidu se zdá mnohem méně zřetelná než ostatní čtyři. Tato okolnost neobtěžovala matematiky.

Kamenem úrazu pro pátý Euklidovské postulát byla definice rovnoběžnosti obou čar a a b s tím, že součet dvou jednostranných úhly, které jsou tvořeny průsečíkem A a B třetí lineární C, rovnající se 180 °.

První pokus dokázat to jako teorém byl proveden starým řeckým geometrem Posidonius. Navrhl, aby soubor všech bodů v rovině, které jsou ve stejné vzdálenosti od původní roviny, byl považován za přímý paralelní s danou. Nicméně ani to neumožnilo Posidonii najít důkazy o 5. postulátu.

Pokusy jiných matematiků, včetně středověkých, například Arabů Ibn Korry a Hayam, nevedly k ničemu. Jediné, co bylo dosaženo, je vznik nových postulátů, které jsou prokázány s přihlédnutím k různým předpokladům.

V 18.-19. Století

Klasická geometrie nadále zaujímala matematiky i v 18. století. Zejména francouzský matematik A. Legendre se dokázal přiblížit k důkazu axiomu euklidovské rovnoběžnosti. Napsal vynikající učebnici „Prvky geometrie“, což je asi 150 lety bylo hlavním výuky matematiky v Ruské říše škol. V něm vědci dali tři možnosti dokázat Euklidovské paralelní axiom, ale všichni se ukázalo jako nesprávné.

Počátkem 19. století vznikla myšlenka vytvářet neeuklidovskou geometrii. První popis systému, který nezávisí na pátém postulátu, byl dán vojenským inženýrem J. Boyayem. Ale on byl vystrašen z jeho objevu a nerozvinul tento nápad, považuje to za chybné. Velký německý matematik K. Gauss také nedokázal dosáhnout úspěchu.

Průlom

Již více než 2000 let Eukleidova pátého postulátu, důkaz, který se pokusil najít stovky vědců, zůstal číslo jedna problém v matematice. Průlom provedl ruský matematik NI Lobachevský. On byl první na světě popisovat vlastnosti skutečného prostoru, dokazovat, že Euclid je geometrie "pracuje" jen v konkrétním případě jeho systému.

NI Lobačevský zpočátku sledoval stejnou cestu jako jeho kolegové. Snažím se dokázat 5. postulát, neuspěl. Potom vědec odmítl euklidovskou představu, podle níž součet úhlů trojúhelníku je roven 180 stupňům. Poté začal prokázat toto tvrzení z opaku a dostal novou formulaci pro pátý postulát. Nyní nechal existenci několika linek rovnoběžných s daným a procházejících bodem ležícím mimo tuto linii.

Nová geometrie

Nemá smysl diskutovat o tom, kdo dělal více pro matematiku. Úloha Euclida a Lobachevského je srovnatelná s vlivem na formování a vývoj fyziky Newtona a Einsteina. Ve stejné době, nový, absolutní geometrie je možné považovat pojem prostoru, oprostit se od klasické metody „lze pochopit, co lze měřit pouze.“ Právě tento přístup se ve vědě po mnoho tisíciletí praktikoval.

Bohužel nápady Lobachevského geometrie nebyly vnímány a pochopeny současníky. Zejména jeho studenti nepokračovali v práci vědce a vývoj neevluidské geometrie byl odložen na několik desetiletí.

Některé rysy Lobachevské teorie

Abychom pochopili novou geometrii, musíme zvážit kosmickou nekonečnu. Je skutečně těžké si představit, že nekonečný vesmír je součet přímočarých prostorů.

Geometrie Lobachevského se používá k popisu křivočarých prostorů, které vytvářejí gravitační pole galaxií. Umožnila se vyhnout se způsobu redukce všech čísel na "přibližně pravý" válec, kruh, pyramid nebo libovolnou kombinaci těchto čísel. Vždyť například ve skutečnosti, že naše planeta - no ball a geoid, tedy číslo, které se získá interpolaci vnější obrys litosféry (tvrdou skořápkou) Země ...

V reálném životě existují také analogy křivočarých prostor vesmíru, které dovolují si představit možnost existence několika přímých paralelních procházejících jedním bodem. Zejména jsou to zakřivené plochy tří typů, které se vyznačují italskou geometrií E. Beltrami a nazývají se pseudosféry.

Další vývoj Lobachevského teorie

Vynikající Rus nebyl jediný, kdo navrhl, že euklidovská geometrie není absolutní. Zejména matematik B. Riemann v roce 1854 posunul myšlenku na existenci prostorů nulového, pozitivního a negativního zakřivení. To znamená, že je možné vytvořit nekonečné množství různých neklasických geometrií.

Z pozice B. Riemanna, který studoval především prostory s pozitivním zakřivením, zní 5. stupně Euklidů zcela neočekávaně. Podle jeho myšlenek nemůže být přímka vedena přes hranici této linie, která je paralelní s touto čárou.

Situace se zcela liší podle nulových, negativních a pozitivních zakřivení podle Kleinovy ​​teorie. Zejména v prvním případě jsou popsány parabolické geometrie, speciální případ, což je klasická, druhá - poslouchat Lobachevskian myšlenky, a třetí - v souladu s těmi, které popsal Riemann.

Po zveřejnění teorie Albert Einstein relativity, předložení těchto prostorách doplní údaje, které berou v úvahu existenci čtyř vzájemně závislých a měnící se měření - hmotnost, síla, rychlost a čas.

V praxi

Vydáte-li se na lidském vnímání prostoru uvnitř oběžné dráze pro obří co největšího trojúhelníku případné odchylky součtu vnitřních úhlů 180 stupňů klasického make jen čtyři milióntin sekundy. Taková hodnota je mimo schopnosti homo sapiens, takže pro Euclideany je požadována euklidovská geometrie.

Zbývá počkat, až budou vytvořeny takové podmínky, které umožňují získat experimentální data k potvrzení nebo vyvrácení teorie N. Lobachevsky a Riemann v celé galaxii.

Nyní víte, že prohlašuje, Euclid je pátý postulát a jeho historii, která je velmi poučné, a nám umožňuje sledovat vývoj lidské mysli v průběhu posledních 2300 let.