Co je to fraktál? Fraktály v přírodě

Často brilantní objevy, uskutečněné ve vědě, jsou schopny drasticky změnit naše životy. Například vynález vakcíny může ušetřit spoustu lidí a vytvoření nových zbraní vede k vraždě. Doslova včera (v rozsahu historie) člověk "zkrotil" elektřinu a dnes si nedokáže představit svůj život bez něj. Existují však i takové objevy, které, jak říkají, zůstávají ve stínu, a to i přesto, že mají také vliv na náš život. Jeden z takových objevů byl fraktál. Většina lidí o tomto pojetí ani neslyšela a nebude schopna vysvětlit svůj význam. V tomto článku se budeme snažit porozumět otázce, co je to fraktál, zvážit význam tohoto pojmu z pozice vědy a přírody.

Řád v Chaosu

Abychom pochopili, co je to fraktál, měli bychom začít analýzu letů z pozice matematiky, ale předtím, než se dostaneme do přesné vědy, jsme trochu filozofická. Každý člověk má přirozenou zvědavost, díky níž pozná svět kolem sebe. Často ve svém úsilí o poznání se snaží ve svých soudech pracovat s logikou. Takže analýzou procesů, které se vyskytují kolem, se snaží vypočítat vztahy a odvodit určité pravidelnosti. Největší mysli planety se zabývají řešením těchto problémů. Zhruba řečeno, naši vědci hledají modely, které neexistují, a neměly by být. A přesto, i v chaosu, existuje spojení mezi těmito nebo těmi událostmi. Toto je spojení, které je fraktální. Jako příklad zvážit zlomenou větev ležící na silnici. Pokud se na to podíváme pozorně, uvidíme, že je to jako strom se všemi jeho větvemi a uzly. Tato podobnost samostatné části s jediným celkem svědčí o takzvaném principu rekurzivní self-podobnosti. Fraktály v přírodě lze nalézt velmi často, protože se tvoří podobně i mnoho anorganických a organických forem. Jsou to mraky, mořské mušle, skořápky slimáků a koruny stromů a dokonce i oběhový systém. Tento seznam může pokračovat neomezeně. Všechny tyto náhodné formy snadno popisují fraktální algoritmus. Zde jsme si uvědomili, jaký je fraktál z pozice přesných věd.

Několik suchých skutečností

Slovo „fraktální“ z latiny překládá jako „parciální“, „separace“, „roztříštěné“, a pokud jde o obsah tohoto pojmu, formulace jako takové neexistuje. Obvykle se s ním zachází jako s podobnou sadou, která je součástí celé, což se opakuje její strukturou na mikroúrovni. Tento termín vytvořil v sedmdesátých letech dvacátého století, Benoit Mandelbrot, který je uznáván jako otec fraktální geometrie. Dnes koncept fraktálu znamená grafickou reprezentaci struktury, která bude podobně jako ve zvětšeném měřítku podobná té samé. Matematický základ pro vytvoření této teorie byl položen ještě před narozením samotného Mandelbrota, ale nemohl se rozvinout, dokud se neobjevily elektronické počítače.

Historický odkaz nebo Jak to všechno začalo

Na přelomu 19. a 20. století bylo studium povahy fraktálů epizodické. To je způsobeno tím, že matematici upřednostňovali studium předmětů, které lze studovat na základě obecných teorií a metod. V roce 1872 vytvořil německý matematik K. Weierstrass příklad kontinuální funkce, která není nikde diferencovaná. Tato konstrukce se však ukázala jako zcela abstraktní a obtížně vnímatelná. Pak šel švédský Helge von Koch, který v roce 1904 vytvořil spojitou křivku, která nikde nemá tečnu. Je poměrně snadné kreslit a jak se ukázalo, je charakterizováno fraktálními vlastnostmi. Jedna z variant této křivky byla pojmenována na počest svého autora - "sněhová vločka Koch". Dále byla myšlenka sebe-podobnosti čísel vyvinuta budoucím instruktorem B. Mandelbrota, Francouze Paula Levyho. V roce 1938 publikoval článek "Ploché a prostorové křivky a povrchy sestávající z částí jako celku". V ní popsal nový druh - Levyho C-křivku. Všechny výše uvedené údaje jsou podmíněně příbuzné formě, jako geometrické fraktály.

Dynamické nebo algebraické fraktály

Tato třída zahrnuje sadu Mandelbrot. První vědci tohoto směru byli francouzští matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roce 1918 publikovala Julia článek založený na studiu iterací racionálních komplexních funkcí. Zde popsal rodinu fraktálů, které jsou úzce spjaty s Mandelbrotem. Navzdory tomu, že tato práce oslavila autora mezi matematiky, byla rychle zapomenuta. A jen o půl století později díky počítačům získala Julia druhý život. Počítače umožnily, aby každý člověk viděl krásu a bohatost světa fraktálů, které by mohly "vidět" matematiky a zobrazovat je prostřednictvím funkcí. Mandelbrot byl první, kdo použil počítač k provádění výpočtů (takový objem nelze provést ručně), což umožnilo vytvořit obraz těchto čísel.

Muž s prostorovou představivostí

Mandelbrot zahájil svou vědeckou kariéru ve výzkumném centru IBM. Při studiu možností přenosu dat na dlouhé vzdálenosti byli vědci konfrontováni s velkými ztrátami, které vznikly v důsledku hluku. Benoit hledal způsoby řešení tohoto problému. Když se podíval na výsledky měření, upozornil na podivný vzorec, a to: hlukové grafy vypadaly stejně v různých časových měřítcích. Podobný obraz byl zaznamenán po dobu jednoho dne a po dobu sedmi dnů nebo po dobu jedné hodiny. Benois Mandelbrot sám často říkal, že nepracuje s formulemi, ale hraje s obrázky. Tento vědec se lišil v obrazovém myšlení, přeložil nějaký algebraický problém do geometrické oblasti, kde je zřejmá správná odpověď. Není tedy překvapující, že taková osoba, bohatý prostorové myšlení, a stal se otcem fraktální geometrie. Koneckonců, povědomí o této osobě může přijít jen tehdy, když studujete kresby a uvažujete nad významem těchto podivných zákrutů, které tvoří vzorec. Fraktální vzory nemají identické prvky, ale mají podobnost v jakémkoli měřítku.

Julia - Mandelbrotová

Jedním z prvních výkresů tohoto obrázku byla grafická interpretace souboru, který se narodil díky dílu Gastona Julie a byl upraven modelem Mandelbrotem. Gaston se snažil představit, jak vypadá souprava, postavený na základě jednoduchého vzorce, který ztratí zpětná vazba. Pokusme se vysvětlit, co bylo řečeno lidskému jazyku, abych tak řekl, na prstech. Pro určitou číselnou hodnotu pomocí vzorce získáme novou hodnotu. Nahrazujeme ji do vzorce a najdeme následující. Výsledkem je velký číselné pořadí. Chcete-li reprezentovat takovou množinu, je nutné provést tuto operaci obrovsky několikrát: stovky, tisíce, miliony. To je to, co Benoit udělal. Zpracoval posloupnost a přenesl výsledky do grafické podoby. Následně namaloval výslednou postavu (každá barva odpovídá určitému počtu iterací). Tento grafický obrázek byl nazván "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: umění vytvořené přírodou

Teorie fraktálů rychle našla praktickou aplikaci. Protože je velmi úzce souvisí s vizualizací samostatně výdělečně podobné obrazy, z nichž první, která přijala principy a algoritmy pro konstrukci těchto neobvyklých tvarů se staly umělci. První z nich byla budoucí zakladatelka studia Pixar Lauren Carpenter. Práce na prezentaci prototypů letadel ho napadlo, aby využil obraz hory jako pozadí. V současné době tento úkol zvládne prakticky každý uživatel počítače a v sedmdesátých letech minulého století, počítače nebyly schopny provádět takové procesy, jako obrazových editorů a žádostí o trojrozměrné grafice v té době byl ještě ne. A tak Loren zachytil Mandelbrotovu knihu "Fraktály: Forma, nehoda a dimenze". To Benoit přinesl řadu příkladů, které ukazují, že jsou fraktál v přírodě (fyva), popsal jejich různé formy a dokázat, že jsou snadno popsat matematických výrazů. Tato analogie matematik vedlo k tvrzení rozvinul svou teorii užitku v reakci na palbu kritiky ze svých kolegů. Tvrdili, že fraktální - je to jen hezký obrázek, který nemá žádnou hodnotu, která je vedlejším produktem činnosti elektronických počítačů. Carpenter se rozhodl tuto metodu vyzkoušet v praxi. pečlivě prostudoval knihu, budoucnost animátor začal hledat způsob, jak realizovat fraktální geometrie v počítačové grafice. Trvalo mu tři dny k tomu, aby zcela realistický obraz horské krajiny v počítači. A dnes je tento princip široce používán. Jak se ukázalo, vytváření fraktálů netrvá moc času a úsilí.

Carpenterovo řešení

Princip Lauren byl jednoduchý. Skládá se z dělení většího geometrické tvary na malých prvcích a ty - na podobné menší velikosti atd. Carpenter, pomocí velkých trojúhelníků, rozdrtil je do 4 malých a tak dále, dokud nezískal realistickou horskou krajinu. Tak se stal prvním umělcem, který použil fraktální algoritmus v počítačové grafice pro vytvoření požadovaného obrazu. Dnes je tento princip používán k simulaci různých reálných přírodních forem.

První 3D vizualizace na fraktálovém algoritmu

O několik let později použil Lauren svou práci v rozsáhlém projektu - animační klip Vol Libre, který se objevil na Siggraphu v roce 1980. Toto video šokovalo mnoho a jeho tvůrce byl pozván, aby pracoval v Lucasfilmu. Animátor zde mohl být plně realizován, vytvořil trojrozměrné krajiny (celá planeta) pro hraný film "Star Trek". Jakýkoli moderní program ("Fractals") nebo aplikace pro vytváření trojrozměrné grafiky (Terragen, Vue, Bryce) používá stejný algoritmus pro modelování textur a povrchů.

Tom Beddard

V minulosti, laserový fyzik, nyní digitální mistr a umělec, Beddard vytvořil řadu velmi zajímavých geometrických postav, které nazval fraktály Faberge. Venku připomínají dekorativní vejce ruského klenotníka se stejným brilantním složitým vzorem. Beddard použil šablonovou metodu k vytvoření vlastních digitálních vizualizací modelů. Přijaté produkty ohromují krásu. Ačkoli mnozí odmítají porovnat ruční výrobek s počítačovým programem, je třeba si uvědomit, že získané formy jsou neobvykle krásné. Zvýrazněním je, že každý zájemce může vytvořit takový fraktál pomocí knihovny softwaru WebGL. To vám umožní prozkoumat v reálném čase různé fraktální struktury.

Fraktály v přírodě

Jen málo lidí věnuje pozornost, ale tyto úžasné postavy jsou přítomny všude. Příroda je vytvořena ze sebe-podobných čísel, prostě si toho nevšimujeme. Stačí, když se podíváme na lupu na naší kůži nebo na list stromu a uvidíme fraktály. Nebo si dejte například ananas nebo dokonce ocas páv - jsou složeny z podobných čísel. Různé brokolice Broccoli Romanescu obecně překvapuje svůj vzhled, protože to opravdu může být nazýváno zázrakem přírody.

Hudební pauza

Ukázalo se, že fraktály nejsou jen geometrické postavy, mohou to být zvuky. Takže hudebník Jonathan Colton píše hudbu pomocí fraktálních algoritmů. Argumentuje, že taková melodie odpovídá přírodní harmonii. Skladatel publikuje všechny své díla pod licencí CreativeCommons Attribution-Noncommercial, která zajišťuje bezplatnou distribuci, kopírování, převod děl jinými osobami.

Indikátor fraktál

Tato technika nalezla velmi nečekanou aplikaci. Na jeho základě byl vytvořen nástroj pro analýzu trhu s burzovními cennými papíry a v důsledku toho byl použit na forexovém trhu. Nyní je indikátor fraktál na všech obchodních platformách a používá se v obchodním zařízení, které se nazývá cenová přerušení. Tuto techniku ​​vyvinul Bill Williams. Jak autor připomíná svůj vynález, tento algoritmus je kombinací několika "svíček", ve kterých centrální odráží maximální nebo naopak minimální extrémní bod.

Na závěr

Takže jsme se podívali na to, co je fraktál. Ukazuje se, že v chaosu, který nás obklopuje, ve skutečnosti existují ideální formy. Příroda je nejlepší architekt, ideální stavitel a inženýr. Je to docela logické uspořádání a pokud nemůžeme najít zákon, neznamená to, že neexistuje. Možná je musíte hledat v jiném měřítku. S jistotou můžeme říci, že fraktály udržují spoustu tajemství, které musíme otevřít.