Příklady indukce. Metoda matematické indukce: příklady řešení

Pravé poznání bylo vždy založeno na stanovení pravidelnosti a důkazu jeho pravdivosti za určitých okolností. Pro takové dlouhé období existence logických úvah byla pravidla formulována a Aristotle dokonce sestavil seznam "správného uvažování". Historicky je běžné rozdělit všechny závěry na dva typy - od konkrétního k množnému (indukci) a naopak (odečtení). Je třeba poznamenat, že druhy důkazů od soukromého k obecnému a od obecného ke konkrétnímu existují pouze ve vztahu a nelze je používat zaměnitelně.

Indukce v matematice

Termín "indukce" má latinské kořeny a je doslovně přeložen jako "vedení". V blíže studie mohou být izolovány strukturu textu, a to latinský prefix - in- (označuje směrem dovnitř akce nebo přítomnost uvnitř) a -duction - správa. Je třeba poznamenat, že existují dva typy - kompletní a neúplné indukce. Kompletní forma je charakterizována závěry ze studie o všech objektech určité třídy.

Neúplné - závěry se vztahují na všechny předměty třídy, ale vycházejí ze studie pouze několika jednotek.

Plná matematická indukce - dedukce, vztaženo na celkové zrušení všech třídu všech položek, které jsou funkčně propojeny vazbami přirozených čísel na základě znalosti funkčního spojení. Důkaz probíhá ve třech fázích:

• první potvrzuje správnost polohy matematické indukce. Příklad: f = 1, to je základ indukce;
• Další fáze vychází z předpokladu platnosti pozice pro všechna přirozená čísla. To znamená, že f = h, to je indukční hypotéza;
• třetí fáze dokládá platnost pozice pro číslo f = h + 1 na základě správnosti polohy předchozího bodu - jde o indukční přechod nebo o krok matematické indukce. Příkladem je tzv "Princip domino": pokud první kost padne v řadě (základ), pak všechny kosti v řadě (přechod) padnou.

A pro zábavu a vážně

Pro jednoduchost vnímání jsou příklady řešení metodou matematické indukce vystaveny ve formě problémů vtipu. To je úkol "zdvořilého obratu":

• Pravidla chování zakazují tomu, aby se člověk střídal před ženou (v takovém případě je předána). Vycházíme z tohoto prohlášení, jestliže poslední v řadě je muž, pak ostatní jsou muži.

Výrazným příkladem metody matematické indukce je problém "bezrozměrného letu":

• Musí prokázat, že v mikrobusu je umístěn jakýkoli počet lidí. Je pravda, že jedna osoba může být ubytována uvnitř dopravy bez jakýchkoliv potíží (základ). Ale bez ohledu na to, jak je minibus zaneprázdněný, vždy se do něj vejde jeden cestující (indukční krok).

Známé kruhy

Příklady řešení matematickou indukcí problémů a rovnic se často vyskytují. Jako ilustraci tohoto přístupu můžeme zvážit následující problém.

Stav: v rovině jsou h kruhy. Musí se prokázat, že pro jakékoliv uspořádání čísel může být karta, kterou tvoří, správně zabarvená dvěma barvami.

Řešení: pro h = 1 pravdivost tvrzení je zřejmá, proto důkaz bude založen na počtu kruhů h + 1.

Předpokládáme, že výpis platí pro libovolnou kartu a h + 1 kruhy jsou uvedeny v rovině. Pokud odstraníte jeden z kruhů z celkového počtu, můžete se správně zbarvit dvěma barvami (černá a bílá).

Při obnovení smazaného kruhu se barva každé oblasti změní na opak (v tomto případě uvnitř kruhu). Získá se mapa, správně zbarvená dvěma barvami, která měla být prokázána.

Příklady s přirozenými čísly

Níže je jasně ukázáno použití metody matematické indukce.

Příklady řešení:

Dokažte, že u každé hodiny platí následující rovnost:

1²+2²+3²+hellip- + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

Řešení:

1. Nechť h = 1, potom:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Z toho vyplývá, že pro h = 1 je tvrzení správné.

2. Za předpokladu, že h = d, získáme rovnici:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Za předpokladu, že h = d + 1, získáme:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²+2²+3²+hellip- + d²+(d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Platí rovnost pro h = d + 1, proto je tvrzení pravdivé pro jakékoliv přirozené číslo, které je ukázáno v příkladu řešení matematickou indukcí.

Cíl

Stav: je nutné prokázat, že pro jakoukoliv hodnotu h je výraz 7^h-1 je dělitelný 6 bez zbytku.

Řešení:

1. Předpokládejme, že h = 1, v tomto případě:

R₁= 7¹-1 = 6 (tj. Dělí se 6 bez zbytku)

Proto pro h = 1 platí prohlášení;

2. Předpokládejme, že h = d a γ^d-1 je dělitelný 6 bez zbytku;

3. Důkazem platnosti tvrzení pro h = d + 1 je vzorec:

R_d+1= 7^d+1-1 = 7,7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

V tomto případě je první termín rozdělen podle 6 podle předpokladu prvního bodu a druhý termín je rovný 6. Tvrzení, že 7^h-1 je dělitelný 6 bez zbytku pro nějaké kladné celé číslo h - je platné.

Chyba soudností

Často v argumentech používáme nesprávné argumenty, kvůli nepřesnosti použitých logických konstrukcí. V zásadě se to stane, když je narušena struktura a logika důkazu. Jako příklad může sloužit příklad nesprávného odůvodnění.

Cíl

Stav: potřebujete důkaz, že žádná hromada kamení není hromada.

Řešení:

1. Předpokládejme, že h = 1, v tomto případě v kamenu 1 kámen a tvrzení je pravdivé (základ);

2. Předpokládejme, že pro h = d je pravda, že hromada kamení není hromada (předpoklad);

3. Nechť h = d + 1, což znamená, že když přidáme ještě jeden kámen, množina nebude hromadou. Závěr je takový, že předpoklad platí pro všechny přirozené h.

Chyba spočívá v tom, že neexistuje žádná definice toho, kolik kamene tvoří hromada. Takové vynechání se nazývá urychlená generalizace v metodě matematické indukce. Příklad, který jasně ukazuje.

Indukce a zákony logiky

Historicky, příklady indukce a odečtení vždy "chodit ruku v ruce." Takové vědecké disciplíny jako logika, filozofie je popisují ve formě protikladů.

Z hlediska logického práva v induktivních definicích lze vidět spoléhání se na fakta a pravdivost prostorů neurčuje správnost výsledného tvrzení. Závěry jsou často získávány s určitou pravděpodobností a hodnověrností, což samozřejmě musí být ověřeno a potvrzeno dalším výzkumem. Příklad indukce v logice může být prohlášení:

V Estonsku - sucho, v Lotyšsku - sucho, v Litvě - sucho.

Estonsko, Lotyšsko a Litva jsou baltské státy. Ve všech pobaltských státech je sucho.

Z příkladu lze konstatovat, že nová informace nebo pravda nelze získat indukční metodou. Všechno, na co lze počítat, je určitá pravdivost závěrů. Navíc pravdivost prostorů nezaručuje stejné závěry. Tato skutečnost však neznamená, že indukce vegetuje na okraji odpočtu: obrovský počet ustanovení a vědeckých zákonů je odůvodněn metodou indukce. Příkladem je stejná matematika, biologie a další vědy. To je většinou způsobeno úplnou indukcí, avšak v některých případech je také použitelná částečná.

Ctihodný věk indukce jí umožnil proniknout prakticky do všech sfér lidské činnosti - to jsou věda, ekonomika a každodenní závěry.

Indukce ve vědeckém prostředí

indukční metoda vyžaduje svědomité postoj, protože příliš mnoho závisí na počtu sledovaných údajů z celku: čím větší je počet studoval, tím spolehlivější si výsledek. Na této konkrétní vědecké zákony získaných indukcí, po dlouhou dobu kontrolovány na úrovni předpokladů pravděpodobnosti pro izolaci a studium všech možných konstrukčních prvků, spojů a vlivů na bázi.

Ve vědě je indukce založena na významných znaménkách, s výjimkou náhodných pozic. Tato skutečnost je důležitá v souvislosti se zvláštnostmi vědeckých poznatků. To je jasně vidět v příkladech indukce ve vědě.

Ve vědeckém světě existují dva typy indukce (v souvislosti s metodou studia):

1. indukční výběr (nebo výběr);
2. indukce je výjimkou (eliminace).

První typ se liší metodickým (scrupulous) výběrem vzorků třídy (podtříd) z různých oblastí.

Příkladem indukce tohoto druhu je následující: stříbro (nebo stříbrné soli) čistí vodu. Závěr vychází z dlouhodobých pozorování (druh výběru potvrzení a zamítnutí - výběr).

Druhý typ indukce je založen na zjištění stanovit příčinné vztahy a vylučující okolnosti, které nesplňují své vlastnosti, a sice univerzální, dodržování časové posloupnosti potřebují a jednoznačnost.

Indukce a odečtení z hlediska filozofie

Pokud se podíváte na historickou retrospektivu, termín "indukce" byl poprvé zmíněn Socrates. Aristotle popsal příklady indukce ve filozofii v přibližném terminologickém slovníku, ale otázka neúplné indukce zůstává otevřená. Po perzekuci aristotelovského syllogismu byla induktivní metoda uznána za plodná a jediná možná v přírodních vědách. Otec indukce jako samostatná zvláštní metoda je považován za Bacona, ale nedokázal oddělit, jak to vyžadují současníci, indukci od deduktivní metody.

Další vývoj indukce byl proveden J. Mill, který považoval teorii indukce za pozici čtyř základních metod: souhlas, rozdíl, zbytky a odpovídající změny. Není překvapující, že k dnešnímu dni jsou tyto metody, pokud jsou podrobně zvažovány, deduktivní.

Znalost nekonzistence teorií Bacona a Mill vedl vědce ke studiu pravděpodobnostních základů indukce. Nicméně i zde to nebylo bez extrémů: byly učiněny pokusy snížit indukci na teorii pravděpodobnosti se všemi následnými následky.

Hlasování o důvěrnosti se získává při praktickém použití v určitých oblastech a kvůli přesnosti metrické induktivní základny. Příkladem indukce a odečtení ve filozofii lze považovat zákon univerzální gravitace. V době objevu zákona se mu Newton podařilo ověřit to s přesností 4 procenty. Při kontrole po více než dvě stě letech byla správnost potvrzena v rozmezí 0,0001 procent, i když test byl proveden stejnými indukčními generalizací.

Moderní filozofie věnuje větší pozornost na odpočet, který závisí na tom, logickou snahou odstoupit od již známého nových poznatků (nebo pravda), aniž by se uchýlil k zkušenosti, intuice, a termíny „čistá“ uvažování. Pokud se odkazuje na pravdivé předpoklady deduktivní metody, ve všech případech je výstup pravdivým výrokem.

Tato velmi důležitá vlastnost by neměla zastínit hodnotu indukční metody. Vzhledem k tomu, že indukce, založená na dosažených zkušenostech, se stává prostředkem jejího zpracování (včetně zobecnění a systematizace).

Indukce v ekonomice

Indukce a odpočet se již dlouho používají jako metody výzkumu ekonomiky a prognózy jejího vývoje.

Spektrum použití indukčního způsobu je poměrně široká: studie o provádění předpovědních ukazatelů (zisk, odpisy, atd ...) a celkovém zhodnocení stavu predpriyatiya- tvorbě účinné politiky na podporu podnikání na základě faktů a jejich vztahů.

Stejná metoda indukce se používá v tabulkách Shewhart, kde, za předpokladu oddělení procesů do řízených a nespravovaných procesů, se tvrdí, že rozsah řízeného procesu je neaktivní.

Je třeba poznamenat, že vědecké zákony jsou oprávněné a potvrzeno indukční metodou, a když ekonomika je věda, často používají matematickou analýzu, teorii rizik a statistik, to není překvapující, přítomnost indukce v základním seznamu metod.

Následující situace může sloužit jako příklad indukce a odpočtu v ekonomice. Zvýšení ceny potravinářských výrobků (ze spotřebního koše) a základního zboží tlačí spotřebitele k přemýšlení o vznikajících vysokých nákladech ve státě (indukce). Zároveň z vysokých nákladů pomocí matematických metod lze odvodit ukazatele růstu cen jednotlivých produktů nebo kategorií zboží (odečtení).

Nejčastěji se odkazuje na metodu indukce, manažerského personálu, manažery, ekonomy. Aby bylo možné předvídat vývoj podniku s dostatečnou pravdivostí, tržním chováním, důsledky hospodářské soutěže, je zapotřebí induktivně-deduktivního přístupu k analýze a zpracování informací.

Jasný příklad indukce v ekonomice, který se týká chybných rozsudků:

• Zisk společnosti klesl o 30% -
  Konkurenční společnost rozšířila své produktové řady -
  nic jiného se nezměnilo;
• výrobní politika konkurenční společnosti způsobila 30% snížení zisku;
• proto je nutné zavést stejnou výrobní politiku.

Příkladem je barevná ilustrace toho, jak neefektivní využití indukční metody přispívá ke zkáze podniku.

Odpočet a indukce v psychologii

Vzhledem k tomu, že existuje metoda, pak logicky existuje také správně uspořádaný způsob myšlení (pro použití metody). Psychologie jako věda, která studuje duševní procesy, jejich formování, vývoj, vzájemné vztahy, interakce, věnuje pozornost "deduktivnímu" myšlení jako jedné z forem projevů dedukce a indukce. Naneštěstí na stránkách o psychologii na internetu prakticky neexistuje zdůvodnění deduktivně induktivní integrity metody. Ačkoli profesionální psychologové se s větší pravděpodobností setkají s indukcí, nebo spíše s chybnými závěry.

Příkladem indukce v psychologii, jako příklad chybných soudí, je prohlášení: má matka klamává, proto jsou všechny ženy podvodníky. Ještě více se naučí z "chybných" příkladů indukce ze života:

• student není schopen nic, pokud obdrží matematiku v matematice;
• on je blázen;
• on je chytrý;
• Můžu dělat všechno;

- a mnoho dalších hodnotících rozsudků, odvozených z absolutně náhodných a někdy i zanedbatelných slibů.

Je třeba poznamenat, že když chyba osobních soudů dosáhne absurdity, přední část práce se objeví u terapeuta. Jeden z příkladů indukce při jmenování specialisty:

"Pacient si je absolutně jistý, že červená barva je pro něj jen nebezpečím v jakémkoli projevu. V důsledku toho člověk vyloučil ze svého života tento barevný režim - pokud je to možné. V domácím prostředí je mnoho příležitostí pro pohodlné bydlení. Můžete opustit všechny objekty červené barvy nebo je nahradit analogy vytvořenými v jiné barevné schémě. Ale na veřejných místech, v práci, v obchodě - to je nemožné. Když se dostáváme do stresové situace, pacient trpí "přílivem" naprosto odlišných emočních stavů, které mohou být nebezpečné pro ostatní. "

Tento příklad indukce, nevědomě, se nazývá "fixní nápady". V případě, že se to stane duševně zdravému člověku, můžeme mluvit o nedostatečné organizaci myšlenkové činnosti. Základní vývoj deduktivního myšlení se může stát způsobem, jak se zbavit kompulzivních stavů. V ostatních případech pracují s takovými pacienty psychiatři.

Výsledné příklady indukce svědčí o tom, že "ignorance zákona se nezbavuje následků (chybných rozsudků)".

Psychologové, kteří pracují na tématu deductivního myšlení, sestavili seznam doporučení navržených tak, aby pomohli lidem zvládnout tuto metodu.

Prvním bodem je řešení problémů. Jak lze vidět, forma indukce, která se používá v matematice, může být považována za "klasickou" a použití této metody přispívá k "disciplíně" mysli.

Další podmínkou pro rozvoj deduktivního myšlení je rozšíření horizontu (který jasně myslí, jasně uvádí). Toto doporučení směřuje "trpící osoby" do vědeckých a informačních skenerů (knihovny, internetové stránky, vzdělávací iniciativy, cestování atd.).

Přesnost je následující doporučení. Koneckonců z příkladů použití indukčních metod je zřejmé, že je v mnoha ohledech zárukou pravdivosti výroků.

Byla také vyloučena flexibilita mysli, což znamenalo možnost použít různé způsoby a přístupy při řešení úkolu, který byl kladen, stejně jako zohlednění variability vývoje událostí.

A samozřejmě pozorování, které je hlavním zdrojem akumulace empirické zkušenosti.

Měli bychom se také zmínit o takzvaný „psychologické indukce“. Tento termín, ačkoli vzácný, lze nalézt na internetu. Všechny zdroje nedávají ani stručnou formulaci definice tohoto pojmu, ale odkazuje na „příklady z reálného života“, čímž dává nový druh indukce návrh, některé formy duševní choroby, extrémní stav lidské psychiky. Z výše uvedeného je zřejmé, že snaha přinést „nový termín,“ se spoléhat na falešné (a často nepravdivých) zaslání odsuzuje experimentátora falešné (nebo uspěchaným) schválení.

Je třeba poznamenat, že odkaz na experimentech v roce 1960 (bez určení místa konání, jména experimentátoři vzorku subjektů a co je nejdůležitější - Cílem experimentu) vypadá, mírně řečeno, nepřesvědčivé, a tvrzení, že mozek vnímá informace, aniž by prošel všemi orgány vnímání (frázi „pociťují dopady“ v tomto případě by se vešlo více organické), ale vyvolává otázky nad důvěřivosti a nekritické prohlášení autora.

Namísto závěru

Královna věd - matematika vědomě využívá všechny možné rezervy metody indukce a odpočtu. Uvedené příklady nám umožňují dospět k závěru, že povrchní a nešikovné (bezmyšlenkové, jak říkají) použití nejpřesnějších a nejspolehlivějších metod vede vždy k chybným výsledkům.

V masovém vědomí je metoda odečtení spojena se slavným Sherlockem Holmesem, který ve svých logických konstrukcích častěji používá příklady indukce v potřebných situacích s využitím dedukce.

Článek zkoumal příklady použití těchto metod v různých vědách a sférách lidské činnosti.