Теорема Виета и немного истории

Теорема Виета - это понятие знакомо со школьных времен практически каждому. Но «знакомо» ли оно на самом деле? Мало кто сталкивается с ним в повседневной жизни. Но и не все те, кто имеет дело с математикой, порой полностью понимают глубокий смысл и огромное значение этой теоремы.

Теорема Виета во многом облегчает процесс решения огромного количества математических задач, которые в итоге сводятся к решению квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0, где а&ne-0.

Это стандартный вид квадратного уравнения. В большинстве случаев квадратное уравнение имеет такие коэффициенты a, b, и с, которые можно легко упростить, разделив их на а. В этом случае мы придем к виду квадратного уравнения, называемому приведенным (когда первый коэффициент уравнения равен 1):

x2+px+q=0

Именно для такого вида уравнений и удобна в использовании теорема Виета. Основным смыслом теоремы является то, что значения корней приведенного кв.уравнения можно легко определить устно, зная основное соотношение теоремы:

• сумма корней равна числу, противоположному второму коэфициенту (т.е. –p);
• произведение равно третьему коэффициенту (т.е. q).

А именно, x1+x2= -p и x1*x2= q.

Решение большинства задач в школьном курсе математики сводится к простым парам чисел, которые легко находятся при владении минимальными навыками устных вычислений. И это не должно вызывать никаких проблем. Существующая обратная теорема Виета позволяет по имеющейся паре чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, легко восстановить его коэффициенты и запись в стандартном виде.

Умение использовать теорему Виета как инструмент, во многом облегчает решение математических и физических задач в курсе средней школы. Особенно этот навык незаменим при подготовке учащихся старших классов к ЕГЭ.

Поняв значимость такого простого и действенного математического инструмента, невольно задумываешься о человеке, впервые его открывшем.

Франсуа Виет - знаменитый французский ученый, который начинал свою трудовую деятельность как адвокат. Но, очевидно, математика была его призванием. Находясь на королевской службе в качестве советника, он прославился тем, что сумел прочесть перехваченное зашифрованное послание короля Испании в Нидерланды. Это давало французскому королю Генриху III возможность знать обо всех намерениях его противников.

Постепенно приобщаясь к математическим знаниям, Франсуа Виет пришел к выводу, что должна существовать тесная связь между новейшими в то время изысканиями «алгебраистов» и глубоким геометрическим наследием древних. В ходе научных изысканий им была разработана и сформулирована практически вся элементарная алгебра. Он впервые ввел использование буквенных величин в математический аппарат, четко разграничив понятия: число, величина и их отношения. Виет доказал, что, выполняя операции в символьном виде, можно решить задачу для общего случая, практически для любых значений заданных величин.

Его изыскания для решения уравнений больших степеней, чем вторая, вылились в теорему, которая сейчас известна, как обобщенная теорема Виета. Она имеет большой прикладное значение, и ее применение дает возможность быстрого решения уравнений более высоко порядка.

Одно из свойств этой теоремы заключается в следующем: произведение всех корней уравнения n-й степени равно его свободному члену. Это свойство часто употребляется при решении уравнений третьей или четвертой степени с целью понижения порядка многочлена. Если у многочлена n-й степени есть целые корни, то их можно легко определить методом простого подбора. И далее выполнив деление многочлена на выражение (х-х1), получим многочлен (n-1)-й степени.

В конце хочется отметить, что теорема Виета является одной из самых знаменитых теорем школьного курса алгебры. А его имя занимает достойное место среди имен великих математиков.