Как найти расстояние на координатной плоскости

В математике как алгебра, так и геометрия ставят задачи по нахождению расстояния до точки или прямой от заданного объекта. Оно находится совершенно разными способами, выбор которых зависит от исходных данных. Рассмотрим, как найти расстояние между заданными объектами в разных условиях.

Использование измерительных инструментов

На начальном этапе освоения математической науки учат, как пользоваться элементарными инструментами (такими, как линейка, транспортир, циркуль, треугольник и другие). Найти расстояние между точками или прямыми при их помощи совсем несложно. Достаточно приложить шкалу делений и записать ответ. Стоит лишь знать, что расстояние будет равным длине прямой, которую можно провести между точками, а в случае с параллельными линиями – перпендикуляру между ними.

Использование теорем и аксиом геометрии

В старших классах учатся измерять расстояние без помощи специальных приспособлений или миллиметровой бумаги. Для этого нужны многочисленные теоремы, аксиомы и их доказательства. Зачастую задачи о том, как найти расстояние, сводятся к образованию прямоугольного треугольника и поиску его сторон. Для решения таких задач достаточно знать теорему Пифагора, свойства треугольников и способы их преобразования.

Точки на координатной плоскости

Если есть две точки и задано их положение на координатной оси, то как найти расстояние от одной до другой? Решение будет включать несколько этапов:

1. Соединяем точки прямой, длина которой и будет являться расстоянием между ними.
2. Находим разность значений координат точек (к-р) каждой оси: |к₁ - к₂|= д₁ и |р₁ - р₂|= д₂ (значения берем по модулю, т.к. расстояние не может быть отрицательным).
3. После этого возводим получившиеся числа в квадрат и находим их сумму: д₁² + д₂²
4. Заключительным этапом будет извлечение квадратного корня из получившегося числа. Это и будет расстоянием между точками: д=V (д₁² + д₂²).

В итоге все решение осуществляется по одной формуле, где расстояние равно квадратному корню от суммы квадратов разности координат:

д =V(|к₁ - к₂|²+|р₁ - р₂|²)

Если возникнет вопрос о том, как найти расстояние от одной точки до другой в трехмерном пространстве, то поиск ответа на него не будет особо отличаться от приведенного выше. Решение будет осуществляться по следующей формуле:

д=V(|к₁ - к₂|²+|р₁ - р₂|²+|е₁ - е₂|²)

Параллельные прямые

Перпендикуляр, проведенный из любой точки, лежащей на одной прямой, к параллели, и будет расстоянием. При решении задач в плоскости необходимо найти координаты любой точки одной из прямых. А затем вычислить расстояние от нее до второй прямой. Для этого приводим их к общему уравнению прямой вида Ах+Ву+С=0. Из свойств параллельных прямых известно, что их коэффициенты А и В будут равны. В таком случае найти расстояние между параллельными прямыми можно по формуле:

д = |C₁ - C₂|/V(A² + B²)

Таким образом, при ответе на вопрос о том, как найти расстояние от заданного объекта, необходимо руководствоваться условием задачи и предоставляемыми инструментами ее решения. Ими могут быть как измерительные приспособления, так и теоремы и формулы.