Nashova rovnováha. Teorie her pro ekonomy (John Nash)

Ve třicátých letech, John von Neumann

Dlouhá mezera mezi psaním disertace a univerzálním rozpoznáním se stala zkouškou pro matematika. Genius bez uznání způsobil vážné duševní porušení, ale tento úkol John Nash mohl vyřešit díky krásné logické mysli. Jeho teorie "Nashovy rovnováhy" získala Nobelovu cenu a svůj život ve filmové adaptaci "Krásné mysli".

Stručně o teorii her

Vzhledem k tomu, že Nashova teorie rovnováhy vysvětluje chování lidí v interakčních podmínkách, je třeba vzít v úvahu základní pojmy herní teorie.

Teorie her zkoumá chování účastníků (agentů) v podmínkách interakce s druhou druhu hry, kde výsledek závisí na rozhodnutí a chování několika lidí. Účastník rozhoduje na základě svých předpovědí o chování ostatních, což se nazývá herní strategie.

Existuje také dominantní strategie, ve které účastník obdrží optimální výsledek pro jakékoli chování ostatních účastníků. To je nejlepší strategie pro hráče.

Vězeňská dilema a vědecký průlom

Dilema vězně je případem hry, kdy účastníci jsou nuceni přijímat racionální rozhodnutí a dosahovat společného cíle v konfliktu mezi alternativami. Otázkou je, která z těchto možností si vybere, uvědomí si svůj osobní a obecný zájem, stejně jako neschopnost získat obě. Hráči se zdají být uzavřeni v těžkých herních podmínkách, což je někdy přiměje, aby si mysleli velmi produktivně.

Toto dilema byla zkoumána americkým matematikem Johnem Nashem. Rovnováha, kterou odvodila, se stala revoluční svým vlastním způsobem. Zvláště jasně tato nová myšlenka ovlivnila názor ekonomů o tom, jak si účastníci trhu zvolí, s přihlédnutím k zájmům druhých, s úzkou interakcí a průnikem zájmů.

Nejlepší je studovat teorii her na konkrétních příkladech, protože tato matematická disciplína sama o sobě není suchá - teoretická.

Příklad dilematu vězně

Například dva lidé spáchali loupež, upadli do rukou policistů a jsou vyšetřováni v oddělených buňkách. Zároveň policisté nabídnou každé straně příznivé podmínky, za kterých bude propuštěn v případě svědectví proti svému partnerovi. Každý ze zločinců má následující strategii, které bude zvažovat:

1. Oba současně svědčí a obdrží 2,5 let vězení.
2. Oba mlčí ve stejnou dobu a obdrží jeden rok, protože v tomto případě bude důkazní báze jejich viny malá.
3. Člověk dává svědectví a získává svobodu a druhý mlčí a obdrží 5 let vězení.

Je zřejmé, že výsledek případu závisí na rozhodnutí obou účastníků, ale nemohou se dohodnout, protože sedí v různých buňkách. Rovněž je jasně vidět konflikt jejich osobních zájmů v boji za společný zájem. Každý vězeň má dvě možnosti k akci a čtyři možnosti pro výsledky.

Řetězec logických odpočtů

Zločinec A považuje následující možnosti:

1. Jsem ticho a můj partner mlčí - oba dostaneme 1 rok vězení.
2. Předávám partnera a on se odevzdá - oba dostaneme 2,5 let vězení.
3. Jsem ticho a můj partner mě rozdává - dostanu 5 let vězení a je svobodný.
4. Předávám partnera a mlčí - dostávám svobodu a je mu pět let vězení.

Poskytujeme matici možných řešení a výsledků pro přehlednost.

Tabulka pravděpodobných výsledků dilematu vězně.

Otázkou je, co si každý účastník zvolí?

"Ticho, nemůžete mluvit" nebo "nemůžete mlčet, nemůžete mluvit"

Chcete-li porozumět volbě účastníka, musíte projít řetězem svých reflexí. Následující úvahy zločince A když řeknu, nic a nic neřekl můj partner, dostaneme minimální dobu (1 rok), ale nevidím, jak se bude chovat. Pokud podá svědectví proti mně, pak je také lepší pro mě svědčit, jinak můžu sedět za 5 let. Je lepší, když sedím po dobu 2,5 roku, než po dobu 5 let. Pokud neřekne nic, pak ještě více musím svědčit, protože budu svobodný. Podobně účastník B také tvrdí.

Není těžké pochopit, že dominantní strategií pro každého zločince je dávání důkazů. Optimální bod této hry přichází, když oba zločinci dávají důkazy a obdrží svou "cenu" - 2,5 let ve vězení. Nashova teorie her nazývá rovnováhu.

Optimální optimální roztok Nash

Revoluční povaha Nashevova pohledu je, co je rovnováha Není to optimální, pokud zvážíme individuálního účastníka a jeho osobní zájem. Koneckonců, nejlepší volbou je zůstat ticho a volno.

Nashová rovnováha je společným bodem zájmu, kde si každý účastník zvolí možnost, která je pro něj optimální, pouze pokud si ostatní účastníci zvolí určitou strategii.

Vzhledem k možnosti, kdy oba zločinci mlčí a obdrží pouze 1 rok, můžete jej nazvat Pareto-optimální volbou. Je to však možné jen tehdy, kdyby se zločinci mohli předem dohodnout. Ale ani to by nezaručilo tento výsledek, protože pokušení ustoupit od přesvědčování a vyhnout se trestu je skvělé. Nedostatek plné důvěry k sobě navzájem a nebezpečí dosažení 5 let vyžaduje výběr varianty s uznání. Abychom se zamysleli nad skutečností, že účastníci budou držet tuto volbu s mlčením, jedná ve shodě, je prostě iracionální. Takový závěr může být učiněn, pokud budeme studovat Nashovu rovnováhu. Příklady dokazují pravdu.

Sobecké nebo racionální

Nashova teorie rovnováhy poskytla úžasné závěry, které odmítají již existující principy. Například Adam Smith chápal chování každého účastníka jako zcela sobectví, které přivedlo systém do rovnováhy. Tato teorie byla nazývána "neviditelnou rukou trhu".

John Nash viděl, že pokud budou všichni účastníci jednat a budou jednat pouze za své vlastní zájmy, nikdy to nepovede k optimálním výsledkům skupiny. Vzhledem k tomu, že racionální myšlení je pro každého účastníka neodmyslitelné, je pravděpodobnější, že strategie Nashovy rovnováhy nabízí.

Čistě mužský experiment

Pozoruhodným příkladem je hra „blondýna paradox“, který, i když se zdá na místě, ale je to živý obrázek, který ukazuje, jak se teorie Nash her.

V této hře si musíte představit, že společnost volných lidí přišla do baru. Nedaleko je společnost dívek, z nichž jedna je lepší než ostatní, říká blondýnka. Jak se lidé chtějí dostat k sobě nejlepšímu přítelkyni?

Takže kluci úvahy: jestliže každý se seznámí s blond, pak s největší pravděpodobností nebude mít nikoho, pak se její přátelé nebudou chtít milovat. Nikdo nechce být druhou možností zálohování. Ale pokud se chlapci rozhodnou vyhnout blondýně, potom je pravděpodobnost, že každý z nich najde dobrou přítelkyni mezi dívkami, vysoká.

Situace Nashovy rovnováhy není optimální pro kluky, protože sledujíc pouze své vlastní sobecké zájmy, každý si vybere blondýnu. Je zřejmé, že snaha o sobecké zájmy se rovná zhroucení skupinových zájmů. Rovnováha podle Nash bude znamenat, že každý chlap jedná ve svých osobních zájmech, které přicházejí do styku se zájmy celé skupiny. To je neoptimální možnost pro každého osobně, ale optimální pro všechny, založené na celkové strategii úspěchu.

Celý náš život je hra

Rozhodování v reálných podmínkách je velmi podobné hře, když očekáváte určité racionální chování od ostatních účastníků. V podnikání, v práci, v týmu, ve společnosti a dokonce ve vztahu k opačnému pohlaví. Od velkých transakcí až po běžné životní situace se vše řídí jedním nebo druhým zákonem.

Samozřejmě, že uvažované herní situace se zločinci a barem jsou jen vynikající ilustrace, která dokazuje rovnováhu Nash. Příklady takových dilemat velmi často vyvstávají na reálném trhu a zvláště to funguje v případech, kdy dva monopolisté ovládají trh.

Smíšené strategie

Často se neúčastníme, ale v několika hrách. Výběr jedné z možností jedné hry, vedené racionální strategií, ale dostanete se do další hry. Po několika racionálních rozhodnutích se může stát, že váš výsledek vám nevyhovuje. Co mám dělat?

Zvažte dva typy strategií:

• Čistou strategií je chování účastníka, které vychází z přemýšlení o možném chování ostatních účastníků.
• Smíšená strategie nebo náhodná strategie střídají čistě strategie náhodně nebo zvolí čistou strategii s určitou pravděpodobností. Tato strategie je také nazývána Randomized.

Vzhledem k tomuto chování získáváme nový pohled na rovnováhu nad Neshu. Pokud jste dříve říkali, že hráč zvolí jednou strategii, pak si můžete představit další chování. Můžete povolit, aby hráči zvolili strategii náhodně s určitou pravděpodobností. Hry, ve kterých není možné nalézt Nashovu rovnováhu v čistých strategiích, je vždy smíchané.

Nash rovnováha ve smíšených strategiích zvaných smíšený ravnovesiem.Eto jako rovnováha, přičemž každý účastník zvolí své strategie pro výběr optimální frekvence za předpokladu, že ostatní účastníci vybrat si své vlastní strategie, s předem určenou frekvencí.

Trest a smíšená strategie

Příkladem smíšené strategie lze uvést fotbalovou hru. Nejlepším příkladem smíšené strategie je pravděpodobně trestní přestřelka. Takže máme brankáře, který může skákat jen v jednom rohu a hráč, který porazí trest.

Takže pokud hráč poprvé vybírá strategii, aby udeřil v levém rohu a brankář také padne do tohoto rohu a uchopí míč, jak se mohou události podruhé vyvíjet? Pokud hráč udeří do druhého rohu, je to pravděpodobně příliš zřejmé, ale úder do stejného rohu není ani zřejmý. Proto brankář i útočník nemají jinou možnost než spoléhat se na náhodnou volbu.

Takže střídající náhodnou volbou s určitou čistou strategií se hráč a brankář snaží získat maximální výsledek.