Matematické kyvadlo: období, zrychlení a vzorce

Mechanický systém, který se skládá z materiálu, bodu (těla), který visí na beztíže neroztažitelného vlákna (její hmota je zanedbatelná ve srovnání s hmotnosti těla) v jednotném gravitačním poli, nazvaném matematické kyvadlo (jiný název - oscilátor). Existují další typy tohoto zařízení. Namísto nitě může být použita bezesná tyč. Matematické kyvadlo může vizuálně odhalit podstatu mnoha zajímavých jevů. S malou amplitudou vibrací se jeho pohyb nazývá harmonický.

Obecné informace o mechanickém systému

Vzorec pro oscilační období tohoto kyvadla byl odvozen holandským vědcem Huygens (1629-1695). Tento současník I. Newton byl velmi rád tento mechanický systém. V roce 1656 vytvořil první hodiny s kyvadlovým mechanismem. Měřili čas s přesností výjimečnou pro tyto časy. Tento vynález se stal důležitým stupněm ve vývoji fyzických experimentů a praktických činností.

Pokud je kyvadlo v rovnovážné poloze (zavěšené svisle), pak gravitace bude vyvážen napětím nitě. Ploché kyvadlo na neroztažitelné nitě je systém se dvěma stupni volnosti s vazbou. Při změně pouze jedné součásti se mění charakteristika všech částí. Takže pokud je vlákno nahrazeno tyčí, pak tento mechanický systém bude mít pouze 1 stupeň svobody. Jaké jsou vlastnosti matematického kyvadla? Chaos vzniká v tomto nejjednodušenějším systému pod vlivem periodické poruchy. V případě, kdy se bod zavěšení nehýbe, ale osciluje, objeví se nová rovnovážná poloha u kyvadla. Při rychlých výkyvech nahoru a dolů tento mechanický systém získá stabilní polohu "vzhůru nohama". Má také své vlastní jméno. Říká se to kapitalské kyvadlo.

Vlastnosti kyvadla

Matematické kyvadlo má velmi zajímavé vlastnosti. Všechny jsou potvrzeny známými fyzickými zákony. Doba oscilace libovolného jiného kyvadla závisí na různých okolnostech, jako je velikost a tvar těla, vzdálenost mezi bodem odpružení a těžištěm a rozložení hmotnosti vzhledem k danému bodu. To je důvod, proč určení doby zavěšení těla je docela náročné. Je mnohem jednodušší vypočítat dobu matematického kyvadla, jehož vzorec bude uveden níže. V důsledku pozorování takových mechanických systémů je možné stanovit takové pravidelnosti:

• Pokud při zachování stejné délky kyvadla pozastavíte různé zatížení, pak bude jejich oscilace stejná, i když se jejich hmotnost značně liší. Proto doba takového kyvadla nezávisí na hmotnosti nákladu.

• Pokud odmítnete kyvadlo při příliš neúměrném, avšak rozdílném úhlu při startu, bude oscilovat se stejným obdobím, ale v různých amplitudách. Zatímco odchylky od středu rovnováhy nejsou příliš velké, kolísání jejich formy bude poměrně blízko k harmonické. Doba takového kyvadla nezávisí na vibrační amplitudě. Tato vlastnost tohoto mechanického systému se nazývá isochronismus (v překladu z řečtiny "chronos" - čas, "isos" - rovný).

Období matematického kyvadla

Tento indikátor je perioda přirozených kmitů. Přes komplikovanou formulaci je proces sám o sobě velmi jednoduchý. Pokud je délka závitu matematického kyvadla L a zrychlení gravitace g, pak se tato hodnota rovná:

T = 2pi-radic-L / g

Doba malých přirozených oscilací nezávisí na žádném měření hmotnosti kyvadla a amplitudy oscilací. V tomto případě se kyvadlo pohybuje jako matematické kyvadlo s danou délkou.

Kolísání matematického kyvadla

Matematické kyvadlo osciluje, což lze popsat jednoduchou diferenciální rovnicí:

x + omega-2 sin x = 0,

kde x (t) - neznámá funkce (tento úhel vychýlení ze spodní rovnovážné polohy na čase t, vyjádřený v radiánech) - omega- je pozitivní konstanta, která je určena z parametrů kyvadla (omega- = Radic-g / l, kde g - gravitační zrychlení, a L - délka jednoduchého kyvadla (suspenze).

Rovnice malých kmitů v blízkosti rovnovážné polohy (harmonická rovnice) vypadá takto:

x + omega-2 sin x = 0

Oscilační pohyb kyvadla

Matematické kyvadlo, které vytváří malé kmity, se pohybuje podél sinusoidu. Diferenciální rovnice druhého řádu splňuje všechny požadavky a parametry takového pohybu. K určení trajektorie musíte zadat rychlost a souřadnice, od kterých jsou určeny nezávislé konstanty:

x = A sin (theta-₀ + omega-t),

kde theta-₀ - počáteční fáze, A - amplituda vibrací, omega- je cyklická frekvence určená z rovnice pohybu.

Matematické kyvadlo (vzorce pro velké amplitudy)

Tento mechanický systém, který osciluje s významnou amplitudou, se řídí složitějšími zákony pohybu. Pro takové kyvadlo jsou vypočteny podle vzorce:

sin x / 2 = u * sn (omega-t / u),

kde sn je sinus Jacobi, který pro u < 1 je periodická funkce a u malého u se shoduje s jednoduchým trigonometrickým sinus. Hodnota u je určena následujícím výrazem:

u = (epsilon- + omega-2) / 2omega-2,

kde epsilon- = E / mL2 (ml2 je energie kyvadla).

Stanovení doby oscilace nelineárního kyvadla se provádí podle vzorce:

T = 2pi- / Omega-,

kde Omega- = pi / 2 * omega- / 2K (u), K je eliptický integrál, pi- - 3.14.

Pohyb kyvadla podél oddělení

Oddělovací soustava je trajektorií dynamického systému s dvojrozměrným fázovým prostorem. Matematické kyvadlo se neustále pohybuje. V nekonečně vzdáleném okamžiku spadne z extrémní horní polohy na stranu při nulové rychlosti a postupně ji zvedne. Nakonec se zastaví a vrátí se do původní polohy.

Pokud se amplituda oscilací kyvadla blíží k číslu pi-, to znamená, že pohyb na fázové rovině se blíží oddělené čáře. V tomto případě má mechanický systém pod vlivem malé síly pravidelné síly chaotické chování.

Když se matematické kyvadlo odchyluje od rovnovážné polohy s úhlem phi je tangenta gravitace Ftau- = -mg hříchu phi. Znaménko mínus znamená, že tato tangenciální složka je směrována na protilehlou stranu od odchylky kyvadla. Označme-li x posunutí kyvadla podél oblouku kruhu s poloměrem L, jeho úhlový posun se rovná phi- = x / L. Druhý zákon Isaac Newton, určený pro projekce vektoru akcelerace a síly, poskytne požadovanou hodnotu:

mg tau- = Ftau = -mg sin x / L

na tomto poměru základě, je zřejmé, že kyvadlo je nelineární systém, jako síla, která má tendenci vrátit se do své rovnovážné polohy, není vždy úměrné posuvu x, a sin x / L.

Pouze když matematické kyvadlo provádí malé oscilace, je to harmonický oscilátor. Jinými slovy, stává se mechanickým systémem schopným provádět harmonické kmity. Tato aproximace je prakticky platná pro úhly 15-20 °. Oscilace kyvadla s velkými amplitudami nejsou harmonické.

Newtonův zákon pro malé oscilace kyvadla

Pokud tento mechanický systém provede malé kolísání, Newtonův druhý zákon bude vypadat takto:

mg tau- = Ftau- = -m * g / L * x.

Vycházíme z toho, že tangenciální zrychlení matematického kyvadla je úměrné jeho posunutí se znaménkem mínus. Toto je podmínka, jímž se systém stává harmonickým oscilátorem. Modul proporcionality mezi posunem a zrychlením se rovná čtverci kruhové frekvence:

omega-02 = g / L- omega-0 = radic-g / L.

Tento vzorec odráží přirozenou frekvenci malých kmitů tohoto typu kyvadla. Vycházíme z toho,

T = 2pi- / omega-0 = 2pi-radic-g / L.

Výpočty založené na zákoně o zachování energie

Vlastnosti oscilačních pohybů kyvadla lze také popsat pomocí zákona o zachování energie. Je třeba mít na paměti, že potenciální energie Kyvadlo v gravitačním poli se rovná:

E = mgΔh = mgL (1-cos alfa-) = mgL2sin2 alfa- / 2

Plné mechanická energie se rovná kinetickému nebo maximálnímu potenciálu: Epmax = Ekmsx = E

Poté, co je zákon o zachování energie zaznamenán, použijte derivát pravé a levé části rovnice:

Ep + Ek = konst

Vzhledem k tomu, derivát z konstant je rovno 0, pak (Ep + Ek) ‚= 0. derivát součtu se rovná součtu derivátů:

Ep `= (mg / l * x2 / 2)` = mg / 2L * 2x * x `= mg / l * v + Ek` = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) ‚= m / 2 * 2v * v `= mv * alfa-,

proto:

Mg / L * xv + mva = v (mg / l * x + m alfa) = 0.

V návaznosti na poslední vzorec nalezneme: alfa- = - g / L * x.

Praktická aplikace matematického kyvadla

Zrychlení volný pád liší se zeměpisnou šířkou, protože hustota zemské kůry po celé planetě není stejná. Tam, kde jsou horniny s větší hustotou, bude o něco vyšší. Zrychlení matematického kyvadla se často používá k geologickému průzkumu. Používá se k vyhledávání různých minerálů. Stačí vypočítat počet oscilací kyvadla, můžete najít v útrobách země uhlí nebo rudu. To je způsobeno tím, že tyto fosílie mají hustotu a hmotnost větší než volná skála pod nimi.

Matematické kyvadlo budou použity těmito významnými učenci jako Sokrata, Aristotela, Platóna, Plutarch, Archimedes. Mnoho z nich věřilo, že tento mechanický systém může ovlivnit osud a život člověka. Archimedes ve svých výpočtech použil matematické kyvadlo. V naší době mnoho okultistů a psychik používá tento mechanický systém k uskutečňování svých proroctví nebo k hledání pohřešovaných lidí.

Slavný francouzský astronom a přírodovědec K. Flammarion také pro svůj výzkum využil matematické kyvadlo. Tvrdil, že s jeho pomocí dokázal předpovědět objev nové planety, vzhled meteoritu Tunguska a další důležité události. Během druhé světové války působil v Německu (Berlín) specializovaný kyvadlový institut. V těchto dnech se v podobném studiu zabývá Mnichovský institut parapsychologie. Zaměstnanci této instituce nazývají svou práci kyvadlem "radeesthesia".