Trojúhelník Pascalu. Vlastnosti Pascalova trojúhelníku

Pokrok lidstva je do značné míry spojen s objevy geniálních. Jedním z nich je Blaise Pascal. Jeho kreativní biografie znovu potvrzuje skutečný výraz Lyon Feuchtwanger "Talentovaný muž, talentovaný ve všech". Všechny vědecké úspěchy tohoto velkého vědce jsou obtížné znovu číst. Mezi nimi je jeden z nejvíce elegantních vynálezů ve světě matematiky - Pascalův trojúhelník.

Několik slov o géniu

Blaise Pascal zemřel brzy v moderních normách ve věku 39 let. Nicméně, ve svém krátkém životě se ukázal jako vynikající fyzik, matematik, filozof a spisovatel. Významní potomci jmenovali na jeho počest jednotku tlaku a populární programovací jazyk Pascal. Byl používán téměř 60 let k výuce psaní různých kódů. Například, s jeho pomocí může každý student napsat program pro výpočet plochy trojúhelníku na "Pascal", stejně jako prozkoumat vlastnosti schématu, který bude popsán níže.

Aktivita tohoto vědce s mimořádným myšlením pokrývá širokou škálu vědních oborů. Zejména je Blaise Pascal jedním ze zakladatelů hydrostatiky matematické analýzy, některých směrů geometrie a teorie pravděpodobnosti. Navíc:

• vytvořil mechanický kalkulaček, známý jako Pascal Wheel;
• předložil experimentální důkaz, že vzduch má elasticitu a hmotnost;
• zjistil, že barometr lze použít k předpovědi počasí;
• vynalezl kolečko;
• přišli s omnibusovými kočáry s pevnými trasami, které se později staly prvním typem pravidelné veřejné dopravy atd.

Pascalův aritmetický trojúhelník

Jak již bylo zmíněno, tento velký francouzský vědec významně přispěl k matematice. Jedním z jeho bezpodmínečných vědeckých dílen je pojednání o aritmetickém trojúhelníku, které se skládá z binomických koeficientů uspořádaných v určitém pořadí. Vlastnosti tohoto schématu ohromí svou rozmanitostí a ona sama potvrzuje přísloví "Všechno geniální je jednoduché!".

Trochu historie

Ve skutečnosti je třeba říci, že ve skutečnosti byl Pascalův trojúhelník v Evropě znám již na počátku 16. století. Zejména jeho obraz je vidět na obálce učebnice aritmetiky slavného astronoma Petra Apia z univerzity Ingolstadt. Podobný trojúhelník je prezentován a ilustrován v knize čínského matematika Yang Hui, publikovaného v roce 1303. Jeho vlastnosti byly také známé pozoruhodnému perského básníkovi a filozofovi Omarovi Khayyamovi již počátkem 12. století. A věří se, že se s ním seznámil s pojednanými arabskými a indickými učenci, napsanými dříve.

Popis

Předtím, než prozkoumáte nejzajímavější vlastnosti Pascalova trojúhelníku, krásné v jeho dokonalosti a jednoduchosti, stojí za to zjistit, co to je.

Vědecky řečeno, tato numerická schéma je nekonečná tabulka trojúhelníkové formy, tvořená binomickými koeficienty uspořádanými v určitém pořadí. V horní části a po stranách jsou čísla 1. Zbývající pozice jsou obsazena čísly rovnající se součtu dvou čísel nad nimi. V tomto případě jsou všechny linie Pascalového trojúhelníku symetrické vzhledem k svislé ose.

Základní vlastnosti

Pascal trojúhelník působí dojmem jeho dokonalosti. Pro libovolný řádek očíslovaný n (n = 0, 1, 2hellip-) je pravdivý:

• první a poslední čísla jsou 1;
• druhá a předposlední - n;
• třetí číslo je stejné jako trojúhelníkové číslo (počet kruhů, které lze ve formuláři uspořádat rovnostranný trojúhelník, tj. 1, 3, 6, 10): T_n-1 = n (n-1) / 2.
• čtvrtý je tetrahedrální, tj. je to pyramida s trojúhelníkem v jeho základně.

Navíc, relativně nedávno, v roce 1972 byla zřízena další vlastnost Pascalova trojúhelníku. Abyste je mohli zjistit, musíte prvky této schématu napsat ve formě tabulky s posunem řádku o 2 pozicích. Poté jsou čísla rozdělena číslem řádku. Ukazuje se, že číslo sloupce, ve kterém jsou všechna čísla vybrána, je primární číslo.

Stejný trik může být proveden jiným způsobem. Za tímto účelem jsou v Pascalově trojúhelníku čísla nahrazena zbytkem jejich rozdělení číslem řádku v tabulce. Potom jsou řádky ve výsledném trojúhelníku uspořádány tak, že další řádky začínají vpravo od 2 sloupců od prvního prvku předchozího. Pak sloupce s čísly, které jsou počátečními čísly, budou sestávat pouze z nula a ty s kompozitními čísly budou mít alespoň jednu nulu.

Spojení s binomií Newtonu

Jak je dobře známo, takzvaný vzorec pro rozšíření termínů nezáporné celočíselné síly součtu dvou proměnných se nazývá forma:

Koeficienty přítomné v nich jsou stejné jako C_n^m = n! / (m! (n - m)!), kde m je pořadové číslo čísla v řetězci n Pascalova trojúhelníku. Jinými slovy, s touto tabulkou po ruce, lze snadno zvednout k moci libovolné čísla, které se předtím rozložily na dva termíny.

Pascalův trojúhelník a binomie Newtonu jsou tedy vzájemně propojeny nejintimnějším způsobem.

Matematické zázraky

Pokud pečlivě studujete trojúhelník Pascalu, zjistíte, že:

• součet všech čísel v řadě se sériovým číslem n (počítání je od 0) se rovná 2ⁿ;
• v případě, že linka zarovnán doleva, součet čísel, které jsou umístěny podél úhlopříček Pascalova trojúhelníku, jít od spodu nahoru a zleva doprava, jsou Fibonacciho čísla;
• První "úhlopříčka" se skládá z přirozených čísel;
• jakýkoliv prvek Pascalova trojúhelníku, sníženou o jeden, je součet všech čísel uspořádaných v rovnoběžníku, která je ohraničena levým a pravým diagonály křížících se na toto číslo;
• v každém řádku schématu se součet čísel na rovných místech rovná součtu prvků na lichých místech.

Sierpinskiho trojúhelník

Taková zajímavá matematická schéma, která je sice slibná z hlediska řešení složitých problémů, je získávána, pokud jsou sudá čísla Pascalova obrazu barevná v jedné barvě a druhá lichá.

Sierpinskiův trojúhelník může být také konstruován jiným způsobem:

• v namalovaném schématu Pascalu je středový trojúhelník překreslený v jiné barvě, která je tvořena spojením středů stran originálu;
• Podobně mají tři nenatřené v rozích;
• pokud postup trvá neomezeně, pak by měla nakonec skončit dvoubarevná postava.

Nejzajímavější vlastností trojúhelníku Sierpinski je jeho podobnost, protože se skládá ze tří kopií, které se snižují o faktor 2. Umožňuje vám tuto schéma přenést na fraktální křivky a podle nejnovějších výzkumů se nejlépe hodí pro matematické modelování oblačnosti, rostlin, delt a dokonce i samotného vesmíru.

Několik zajímavých úkolů

Kde je používán Pascalův trojúhelník? Příklady problémů, které lze s jeho pomocí řešit, jsou poměrně rozmanité a týkají se různých oblastí vědy. Zvažte některé z nejzajímavějších z nich.

Problém 1. Určité velké město obklopené hradbami má pouze jednu vstupní bránu. Na prvním kruhovém objezdu je hlavní cesta rozdělena na dvě. Totéž se stane na každém jiném. Do města vstoupilo 210 lidí. Na každém průsečíku jsou rozděleny na polovinu. Kolik lidí bude na každém křižovatku, kdy nebude možné sdílet. Jeho odezva je 10. řádkem Pascalova trojúhelníku (vzorec koeficientů je uveden výše), kde čísla 210 jsou umístěna po obou stranách svislé osy.

Úloha 2. Je 7 barev. Potřebujeme udělat kytici se třemi květy. Je třeba zjistit, kolik různých způsobů, jak toho dosáhnout. Tento problém je z oblasti kombinátorů. Abychom to vyřešili, použijeme opět Pascalův trojúhelník a číslo 35 na 7. řádku ve třetí pozici (číslování v obou případech je 0).

Nyní víte, co vynalezl velký francouzský filozof a učenec Blaise Pascal. Jeho slavný trojúhelník, když se správně používá, se může stát skutečným hůlkovým nástrojem pro řešení mnoha problémů, zejména z oblasti kombinatoriky. Navíc může být použita k vyřešení mnoha hádanek spojených s fraktály.