Pravidelná polyhedra: prvky, symetrie a oblast

Geometrie je krásná v tom, že na rozdíl od algebry, kde není vždy jasné, co a proč si myslíte, dává objekt viditelnost. Tento úžasný svět různých těl je vyzdoben pravidelným polyhedrem.

Obecné informace o pravidelných polyhedrách

Podle mnoha, pravidelných mnohostěnů, nebo jak se nazývají platonické pevné látky, mají jedinečné vlastnosti. S těmito objekty spojeny několik vědeckých hypotéz. Když začnete studovat geometrická data v těle, si uvědomit, že téměř nic o takové koncepce, jako pravidelné polyhedra vědět. Prezentace těchto objektů ve škole není vždy zajímavé, takže mnozí si ani nepamatuju, co se jim říkalo. V paměti většiny lidí je to jen krychle. Žádný z geometrie tělesa nemá takové dokonalosti jako pravidelných mnohostěnů. Všechny názvy těchto geometrických těles pochází ze starověkého Řecka. Ty představují počet obličejů: čtyřstěn - čtyřstranné, šestistěnu - šestihranný octahedron - osmiúhelníku, dvanáctistěn - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Všechny tyto geometrické těleso zaujímá významné místo v Platónově pojetí vesmíru. Čtyři z nich jsou obsaženy prvky či entity: tetraedronové - oheň, icosahedron - Vodní kostka - zemin, octahedron - vzduch. Dodecahedron ztělesňuje všechno. On byl považován za hlavní, jako symbol vesmíru.

Zobecnění koncepce polyhedronu

Polyhedron je sbírka konečného počtu polygonů, které:

• každá strana kteréhokoli z polygonů je současně stranou pouze jednoho dalšího polygonu podél stejné strany;
• z každého polygonu lze dojít jiným procházením po sousedních polygonech.

Polygony tvořící polyhedron jsou jeho tváře a jejich strany jsou okraje. Polygonové vrcholy jsou vrcholy polygonů. Pokud je koncept polygonu chápán jako rovinná uzavřená polygonální linie, pak se dostanou ke stejné definici polyhedronu. V případě, že tento výraz znamená část roviny, která je ohraničena přerušovanými čarami, je nutné pochopit povrch skládající se z mnohoúhelníků. Konvexní polyhedron Tělo ležící na jedné straně letadla přilehle k jeho obličeji je voláno.

Další definice polyhedronu a jeho prvků

Polyhedron je povrch sestávající z polygonů, které ohraničují geometrické těleso. Jsou to:

• nekonvexní;
• konvexní (správné a špatné).

Pravidelný polyhedron je konvexní polyhedron s maximální symetrií. Prvky pravidelné polyhedry:

• čtverec: 6 okrajů, 4 tváře, 5 vrcholů;
• hexaedron (kostka): 12, 6, 8;
• dodecahedron: 30, 12, 20;
• oktadron: 12, 8, 6;
• ikosahedron: 30, 20, 12.

Eulerova věta

Stanoví vztah mezi počtem hran, vrcholů a tváře jsou topologicky ekvivalentní koule. Přidání počet vrcholů a tváře (B + D) mají rozdílné pravidelné polyhedra a jejich porovnání s počtem žeber, je možné nastavit jedno pravidlo: součet počtu ploch, který se rovná počtu vrcholů a hran (P) o 2. Je možné odvodit jednoduchý vzorec:

• B + F = P + 2.

Tento vzorec platí pro všechny konvexní polyhedry.

Základní definice

Koncept pravidelného polyhedronu nemůže být popsán jednou větou. Je to více polysemantické a objemné. Aby tělo bylo uznáno jako takové, je nutné, aby odpovídal řadě definic. Takže geometrické těleso bude normální polyhedron, pokud budou splněny následující podmínky:

• je konvexní;
• Stejný počet okrajů se sbíhá na každém z jeho vrcholů;
• všechny jeho tváře jsou pravidelné polygony, které se navzájem rovnají;
• všechny dihedralové úhly jsou stejné.

Vlastnosti pravidelné polyhedry

Existuje 5 různých typů pravidelných polyhedrů:

1. Kostka (hexaedron) - má plochý úhel na vrcholu 90 °. Má 3-úhlový úhel. Součet rovinných úhlů na vrcholu je 270 °.
2. Tetrahedron je plochý úhel na vrcholu 60 °. Má 3-úhlový úhel. Součet rovinných úhlů na vrcholu je 180 °.
3. Oktadron je plochý úhel na vrcholu 60 °. Má 4 rohový úhel. Součet plochých úhlů v horní části je 240 °.
4. Dodekahedron má plochý úhel na vrcholu 108 °. Má 3-úhlový úhel. Součet rovinných úhlů na vrcholu je 324 °.
5. Icosahedron - má nahoře plochý úhel - 60 °. Má 5-úhlový úhel. Součet rovinných úhlů na vrcholu je 300 °.

Plocha pravidelné polyhedry

Plocha těchto geometrických těles (S) se vypočítá jako plocha pravidelného polygonu vynásobená počtem jeho ploch (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg pi- / p.

Objem normálního polyhedronu

Tato hodnota je vypočtena vynásobením objemu pravidelné pyramidy, jejíž základ tvoří pravidelný polygon, počtem obličejů a její výškou je poloměr zapsané koule (r):

• V = 1: 3rS.

Objemy pravidelné polyhedry

Stejně jako jiné geometrické těleso mají pravidelné polyhedry různé objemy. Níže jsou vzorce, podle kterých je lze vypočítat:

• tetrahedron: alfa-x 3radic-2: 12;
• oktahedron: alfa-x 3radic-2: 3;
• icosahedron- alfa-x 3;
• hexaedron (krychle): 5 x alfa-x 3 x (3 + radic-5): 12;
• dodecahedron: alfa-x 3 (15 + 7radic-5): 4.

Prvky pravidelné polyhedry

Hexahedron a oktahedron jsou duální geometrické tělesa. Jinými slovy, mohou být získány jeden od druhého v případě, kdy je těžiště jednoho z nich považováno za vrchol druhého a naopak. Také ikosahedron a dodecahedron jsou duální. Pouze čtyřúhelník je dvojí. Metodou Euclidu lze získávat dodekededron z hexaedronu tak, že vytvoříme "střechy" na tvářích krychle. Vrcholy tetraedonu jsou libovolné 4 vrcholy krychle, které nejsou ve dvojicích podél hrany. Z hexaedronu (krychle) je možné získat jiné pravidelné polyhedry. Přes to, že pravidelných mnohoúhelníků tam jsou nesčetné, tam jsou jen 5 pravidelné polyhedra.

Radii pravidelných mnohoúhelníků

U každého z těchto geometrických těles jsou spojeny 3 soustředné kuličky:

• popsané, procházející svými vrcholy;
• Je zapsán, dotýká se jeho obličeje uprostřed;
• Střední, dotýká se všech žeber uprostřed.

Poloměr popsané koule se vypočte podle následujícího vzorce:

• R = a: 2 x tg pi- / g x tg theta-: 2.

Poloměr koule vkládané je vypočítán podle vzorce:

• R = a: 2 x ctg pi- / px tg 2,

kde theta - obojstranný roh, který leží mezi přilehlými plochami.

Poloměr koule uprostřed lze vypočítat podle následujícího vzorce:

• rho- = a cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

kde h je hodnota 4,6, 6,10 nebo 10. Poměr popsaných a zapsaných poloměrů je symetrický vzhledem k p a q. Vypočítá se podle vzorce:

• R / r = tg pi- / px tg pi- / q.

Symetrie polyhedry

Symetrie pravidelných polyhedrů způsobuje hlavní zájem o tyto geometrické tělesa. Je chápáno jako takový pohyb těla v prostoru, který opouští stejný počet vrcholů, tváří a okrajů. Jinými slovy, při působení transformace symetrie zůstává okraj, vrchol nebo tvář buď původní, nebo se přesune na původní pozici jiného okraje, jiného vrcholu nebo obličeje.

Prvky symetrie pravidelných polyhedrů jsou charakteristické všem druhům takových geometrických těles. Zde mluvíme o transformaci identity, která zanechává některý z bodů v původní pozici. Takže při otáčení polygonálního hranolu lze získat několik symetrií. Každá z nich může být reprezentována jako produkt odrazů. Symetrie, která je produktem sudého počtu odrazů, se nazývá linie. Je-li výsledkem lichého počtu odrazů, nazývá se to inverzní. Takže všechny rotace kolem přímky představují přímou symetrii. Jakýkoli odraz polyhedronu je inverzní symetrie.

Abychom lépe pochopili prvky symetrie pravidelné polyhedry, můžeme vzít příklad čtyřstěnu. Jakákoliv přímka, která prochází jedním z vrcholů a středem tohoto bodu geometrická postava, bude procházet středem obličeje naproti tomu. Každá z obratů při 120 a 240 ° kolem čáry patří k množině symetrií čtyřstěn. Protože má 4 vrcholy a obličeje, existuje pouze osm přímých symetrií. Každá přímka procházející středem žebra a středem tohoto těla prochází středem protilehlé hrany. Jakákoli rotace 180 °, nazvaná půl otáčky, je kolem souměrnosti symetrií. Vzhledem k tomu, že čtyřstěn má tři páry okrajů, pak existují tři další přímé symetrie. V návaznosti na výše uvedené lze usoudit, že celkový počet přímých symetrií, včetně identické transformace, dosáhne dvanáct. Pro tetraedron neexistují žádné jiné přímé symetrie, ale má 12 inverzních symetrií. Následkem toho je čtyřstěn charakterizován pouze 24 symetrií. Pro jasnost můžete vytvořit model z pravidelného čtyřstěnu z lepenky a ujistěte se, že toto geometrické těleso skutečně má pouze 24 symetrií.

Dodekahedron a ikosahedron jsou těla nejblíže koule. Ikosahedron má největší počet tváří, největší dihedral úhel, a nejblíže to může být k zapsané koule. Dodekahedron má nejmenší úhlovou vadu, největší pevný úhel na vrcholu. Dokáže co nejvíce naplnit svůj popsaný rozsah.

Nasazení polyhedry

Správné polyhedrony zametání, které jsme všichni slepili v dětství, mají mnoho konceptů. Pokud existuje množina polygonů, jejichž každá strana je označena pouze jednou stranou polyhedronu, pak identifikace stran musí odpovídat dvěma podmínkám:

• z každého polygonu je možné projít polygony s identifikovanou stranou;
• identifikovatelné strany musí mít stejnou délku.

Je to sbírka polygonů, které uspokojují tyto podmínky, které se nazývají rozvinutí polyhedronu. Každé z těchto těl má několik z nich. Takže například kostka má 11 kusů.