Pravidelný polygon. Počet stran pravidelného mnohoúhelníku

Trojúhelník, čtverec, šestiúhelník - tyto údaje jsou známé téměř všem. Ale ne každý ví o tom, co je pravidelný polygon. Ale je to stále stejné geometrické tvary. Pravidelný polygon je ten, který má stejné úhly a strany. Existuje spousta takových čísel, ale všechny mají stejné vlastnosti a stejná vzorce se na ně vztahují.

Vlastnosti pravidelných mnohoúhelníků

Jakýkoliv pravidelný polygon, ať už je to čtverec nebo osmiúhelník, může být napsán v kruhu. Tato základní vlastnost se často používá při konstrukci tvaru. Kromě toho může být kružnice zapsána i do polygonu. V tomto případě se počet kontaktních bodů rovná počtu stran. Je důležité, aby kružnice s pravidelným polygonem měla společné centrum. Tyto geometrické postavy jsou předmětem jedné věty. Každá strana pravidelného n-gonu je spojena s poloměrem circumcirku R, který je kolem něj ohraničen. Proto je možné jej vypočítat podle následujícího vzorce: a = 2R ∙ sin180 °. Prostřednictvím poloměr kruhu najdete nejen strany, ale i obvod polygonu.

Jak zjistit počet stran pravidelného mnohoúhelníku

Každý pravidelný n-gon se skládá z určitého počtu stejných segmentů, které při kombinaci tvoří uzavřenou čáru. V tomto případě mají všechny úhly tvarované postavy stejnou hodnotu. Polygony jsou rozděleny na jednoduché a složité. První skupina obsahuje trojúhelník a čtverec. Komplexní polygony mají více stran. Patří sem i stelátní postavy. Pro složité pravidelné polygony, strany jsou nalezeny tím, že zapíše je do kruhu. Dáváme důkaz. Nakreslete pravidelný polygon s libovolným počtem stran n. Popište kolem něj kruh. Určete poloměr R. Teď si představte, že n-gon je dán. Jestliže body jeho úhlů leží na kruhu a jsou rovny navzájem, pak se strany nacházejí podle vzorce: a = 2R ∙ sinalpha-: 2.

Hledání počtu stran pravého trojúhelníku

Rovnostranný trojúhelník je pravidelný mnohoúhelník. Vzorce k němu platí stejně jako na čtverec a n-gon. Trojúhelník bude považován za správný, pokud má stejnou délku podél boku. Úhly se rovnají 60u. Vytváříme trojúhelník s danou délkou stran a. Když známe jeho střední a výšku, najdeme význam jeho stran. K tomu použijeme metodu zjištění pomocí vzorce a = x: cosalpha-, kde x je střední nebo výška. Protože všechny strany trojúhelníku jsou stejné, získáme a = b = c. Poté platí následující tvrzení: a = b = c = x: cosalpha-. Podobně lze najít hodnotu stran v rovnoměrném trojúhelníku, ale x je daná výška. V takovém případě by měl být projektován striktně na základě čísla. Takže, když známe výšku x, nacházíme stranu a rovnoramenného trojúhelníku podle vzorce a = b = x: cosalpha-. Po nalezení hodnoty a můžeme vypočítat délku základny c. Aplikujeme větu Pythagoras. Budeme hledat hodnotu poloviny základny c: 2 = radic- (x: cosalpha -) ^ 2 - (x ^ 2) = radic-x ^ 2 (1-cos ^ 2alfa): cos ^ 2alpha- = x · tgalpha-. Pak c = 2xtgalpha-. Jednoduchým způsobem lze najít počet stran libovolného polygonu.

Výpočet stran čtverce zapsaného v kruhu

Stejně jako kterýkoli jiný napsaný pravidelný mnohoúhelník má čtverec stejné strany a úhly. Stejné vzorce platí pro trojúhelník. Vypočítejte, že strany čtverce mohou být přes hodnotu diagonály. Zvažme tuto metodu podrobněji. Je známo, že úhlopříčka rozděluje úhel na polovinu. Zpočátku byla jeho hodnota 90 stupňů. Tak, po rozdělení, dva pravý trojúhelník. Jejich rohy u základny budou rovné 45 stupňům. V souladu s tím, na každé straně čtverce je stejná, to znamená: a = b = c = d = e ∙ cosalpha- = eradic-2 2, kde E - je úhlopříčky čtverce nebo bází vytvořenou po rozdělení pravoúhlého trojúhelníku. To není jediný způsob, jak najít strany náměstí. Tuto postavu zapíšeme do kruhu. Když známe poloměr tohoto kruhu R, nacházíme náměstí. Budeme jej vypočítat následovně: a4 = Rradic-2. Poloměry pravidelných polygonů jsou vypočteny podle vzorce R = a: 2tg (360^o: 2n), kde a je délka strany.

Jak vypočítat obvod n-gonu

Obvod n-gonu je součtem všech jeho stran. Není to obtížné ji vypočítat. Chcete-li to udělat, musíte znát význam všech stran. U některých typů polygonů existují zvláštní vzorce. Umožňují vám najít obvod mnohem rychleji. Je známo, že každý pravidelný polygon má stejné strany. Proto, aby bylo možné vypočítat jeho obvod, stačí znát alespoň jeden z nich. Vzorec bude záviset na počtu stran postavy. Obecně to vypadá takto: P = an, kde a je boční hodnota a n je počet úhlů. Například, najít obvodu pravidelného osmiúhelníku s straně 3 cm, je třeba ji vynásobit 8, to znamená, že p = 3 ∙ 8 = 24 cm U šestiúhelníku s straně 5 cm, se vypočítá následujícím způsobem :. P = 5 ∙ 6 = 30 cm, a tak pro. každého polygonu.

Hledání obvodu paralelogramu, čtverce a diamantu

V závislosti na tom, kolik stran má pravidelný mnohoúhelník, vypočte si jeho obvod. To dělá úkol mnohem jednodušší. Koneckonců, na rozdíl od jiných čísel, v tomto případě nemusíte hledat všechny jeho strany, jen jednu. Stejným principem najdeme obvod čtyřúhelníků, tedy čtverec a kosočtverce. Navzdory skutečnosti, že se jedná o různé čísla, je pro ně vzorec P = 4a, kde a je strana. Ukažme příklad. Je-li strana kosočtverce nebo čtverce 6 cm, najdeme obvod následujícím způsobem: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. V rovnoběžníku jsou rovnoběžné pouze opačné strany. Proto je jeho obvod nalezen jinou metodou. Takže potřebujeme znát délku a šířku tvaru. Pak použijeme vzorec P = (a + b) ∙ 2. Paralelogram, ve kterém jsou všechny strany a úhly rovny, se nazývá kosočtverec.

Hledání obvodu rovnostranného trojúhelníku a pravého trojúhelníku

Obvod správný rovnostranný trojúhelník lze nalézt ze vzorce P = 3a, kde a je délka strany. Není-li známo, lze ji najít pomocí mediánu. V pravém trojúhelníku mají jen dvě strany stejnou hodnotu. Báze lze nalézt pomocí Pythagorovy věty. Po zjištění hodnot všech tří stran vypočteme obvod. To lze nalézt použitím vzorce P = a + b + c, kde a a b jsou stejné strany a c je základ. Připomeňme, že v rovnoměrném trojúhelníku a = b = a, potom a + b = 2a, pak P = 2a + c. Například strana rovnoramenného trojúhelníku je 4 cm, nacházíme jeho základnu a obvod. Hodnotu hypotenze vypočítáme podle Pythagorovy věty c = radic² + v² = radic-16 + 16 = radic-32 = 5.65 cm. Nyní vypočteme obvod P = 2, 4 + 5.65 = 13.65 cm.

Jak najít rohy pravidelného mnohoúhelníku

V našem životě se pravidelně vyskytuje pravidelný mnohoúhelník, například obyčejný čtverec, trojúhelník, osmiúhelník. Zdá se, že nic není jednodušší, než postavit toto číslo sami. Ale je to jen na první pohled. Pro konstrukci libovolného n-gonu je nutné znát hodnotu jeho úhlů. Ale jak je najít? Dokonce i dávní vědci se pokoušeli postavit pravidelné polygony. Předpokládali, že je vejde do kruhu. Poté byly na něm označeny potřebné body, byly spojeny přímými čarami. U jednoduchých čísel byl vyřešen stavební problém. Byly získány vzorce a věty. Například Euklides ve své známé práci „Home“ pro řešení problémů, podílejících se na 3-, 4-, 5-, 6- a 15-gons. Našel způsob, jak konstruovat a najít úhly. Zvažte, jak to udělat pro 15-gon. Nejprve musíte vypočítat součet jeho vnitřních úhlů. Je třeba použít vzorec S = 180⁰ (n-2). Tak jsme jsou uvedeny 15-gon, proto, číslo n je 15. Po dosazení známých dat a získat vzorce S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli jsme součet všech vnitřních úhlů 15 gonů. Nyní musíte získat hodnotu každého z nich. Celkové úhly 15. Proveďte výpočet 2340⁰: 15 = 156⁰. Proto se každý vnitřní úhel rovná 156⁰, nyní s pravítkem a kompasem je možné vytvořit normální 15-gon. Ale co složitější n-gons? Po mnoho staletí se vědci snažili vyřešit tento problém. To bylo nalezeno teprve v 18. století Carl Friedrich Gauss. Dokázal postavit 65537 gonů. Od té doby se tento problém oficiálně považuje za plně vyřešenou.

Výpočet úhlů n-gonů v radiánech

Samozřejmě existuje několik způsobů, jak najít úhly polygonů. Nejčastěji se počítají ve stupních. Ale můžete je vyjádřit v radiánech. Jak to udělat? Je nutné postupovat následovně. Nejprve jsme zjistit počet stran pravidelného mnohoúhelníku, a pak odečíst z nich 2. Z toho důvodu, dostaneme hodnoty: n - 2. Multiply zjištěného rozdílu počtem n ( „pi“ = 3,14). Nyní zůstává pouze rozdělit získaný produkt podle počtu úhlů v n-gonu. Zvažte tyto výpočty pomocí stejného příkladu patnácti rohů. To znamená, že číslo n je rovno 15. aplikujeme vzorce S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Samozřejmě to není jediný způsob výpočtu úhlu v radiánech. Můžete jednoduše rozdělit velikost úhlu ve stupních o číslo 57.3. Koneckonců tolik stupňů odpovídá jednomu radiánu.

Výpočet úhlů ve stupních

Kromě stupňů a radiánů se můžete pokusit najít úhly pravidelného mnohoúhelníku v krupobití. Toto je provedeno následovně. Z celkového počtu úhlů odečteme 2, rozdělíme výsledný rozdíl na počet stran pravidelného mnohoúhelníku. Výsledek je vynásoben počtem 200. Mimochodem, taková jednotka měření úhlů jako krupobití se prakticky nepoužívá.

Výpočet vnějších úhlů n-gonů

Pro libovolný pravidelný polygon, s výjimkou vnitřního mnohoúhelníku, lze vypočítat i vnější úhel. Jeho hodnota se nachází stejným způsobem jako u ostatních čísel. Takže abyste našli vnější roh normálního polygonu, musíte vědět význam vnitřního mnohoúhelníku. Dále víme, že součet těchto dvou úhlů je vždy o 180 stupňů. Proto provádíme výpočty takto: 180⁰ mínus hodnota vnitřního úhlu. Rozdíl najdeme. Bude se rovnat hodnotě sousedícího úhlu. Například vnitřní roh čtverce je 90 stupňů, pak vnější roh bude 180⁰-90⁰ = 90⁰. Jak vidíme, není to těžké ji najít. Vnější úhel může mít hodnotu od + 180⁰ do -180⁰.