Jak vypočítat plochu pyramidy: základní, boční a plná?

Při přípravě na USE v matematice musí studenti systematizovat znalosti algebry a geometrie. Chci kombinovat všechny známé informace, například, jak vypočítat plochu pyramidy. A od základny a bočních ploch až po plochu celého povrchu. Pokud je situace s bočními plochami jasná, protože jsou trojúhelníky, dno je vždy jiné.

Jak se stát při hledání oblasti základny pyramidy?

Může to být jakákoli forma: od libovolného trojúhelníku po n-gon. A tento základ, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být správný nebo nesprávný. Ve školních zájmech, které se zajímají o školáky, se setkávají pouze práce se správnými postavami na základně. Proto o nich budeme jen mluvit.

Pravý trojúhelník

To je rovnostranné. Ten se všemi stranami je stejný a označen písmenem "a". V tomto případě je plocha základny pyramidy vypočtena podle vzorce:

S = (a² * * * radic-3) / 4.

Náměstí

Vzorec pro výpočet jeho plochy je nejjednodušší, zde "a" je opět strana:

S = a².

Pravdivý n-gon

Strana polygonu má stejnou notaci. Pro počet úhlů použijte latinské písmeno n.

S = (n * a²) / (4 * tg (180 rpmm / r)).

Co mám dělat při výpočtu plochy bočního a plného povrchu?

Vzhledem k tomu, že základna má správnou postavu, všechny tváře pyramidy jsou stejné. Navíc každá z nich je rovnoramenný trojúhelník, protože boční hrany jsou stejné. Potom, za účelem výpočtu oblast straně pyramidy je třeba vzorec skládající se ze součtu monomials identické. Počet pojmů je určen počtem stran základny.

Oblast rovnoramenného trojúhelníku se vypočítá podle vzorce, ve kterém je polovina základního produktu vynásobené výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apophema. Jeho označení je "A". Obecný vzorec pro plochu boční plochy je následující:

S = frac12-P * A, kde P je obvod základny pyramidy.

Existují situace, kdy strany základny nejsou známy, existují však boční hrany (c) a plochý úhel v horní části (alfa-). Pak je třeba použít takový vzorec pro výpočet boční plochy pyramidy:

S = n / 2 * v² sin alfa-.

Úkol číslo 1

Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud leží v její základně rovnostranný trojúhelník se stranou 4 cm a apophema je důležité radic-3 cm.

Řešení. Začíná výpočtem obvodu základny. Protože se jedná o pravidelný trojúhelník, pak P = 3 * 4 = 12 cm apothem Jak je známo, je možné okamžitě vypočítat plochu celé plochy pláště .: frac12- * 12 * radic-3 = 6radic-3 cm².

Pro trojúhelník ve spodní části získáme následující hodnotu oblasti: (4²* radic-3) / 4 = 4radic-3 cm².

Pro stanovení celá oblast je třeba složit ze dvou výsledných hodnot: 6radic-3 + 4radic-3 = 10radic-3 cm².

Odpovědět. 10 cm-3 cm².

Úkol číslo 2

Stav. K dispozici je pravidelná čtverhranná pyramida. Délka strany podstavce je 7 mm, boční okraj je 16 mm. Je třeba znát plochu jeho povrchu.

Řešení. Vzhledem k tomu, že polyhedron je čtverhranný a pravidelný, na jeho základně je čtverec. Po naučení oblasti základny a bočních ploch bude možné počítat plochu pyramidy. Vzorec pro čtverec je uveden výše. A na bočních stranách jsou známy všechny strany trojúhelníku. Proto můžete použít Geronův vzorec k výpočtu jejich oblastí.

První výpočty jsou jednoduché a vedou k takovým číslům: 49 mm². Pro druhou hodnotu je třeba vypočítat semiperimetr: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nyní můžeme vypočítat plochu rovnoramenného trojúhelníku: radic- (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16)²) = radic-2985,9375 = 54,644 mm². Existují pouze čtyři takové trojúhelníky, takže při výpočtu konečného čísla je třeba ho rozmnožit o 4.

Ukázalo se: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm².

Odpovědět. Požadovaná hodnota je 267,576 mm².

Úkol číslo 3

Stav. Pravidelná čtverhranná pyramida potřebuje plochu vypočítat. Ví to na straně čtverce - 6 cm a výšku - 4 cm.

Řešení. Nejjednodušší je použít vzorec s produktem perimetru a apophema. První hodnota je snadná. Druhý je trochu komplikovanější.

Je třeba připomenout větu Pythagoras a uvažovat pravý trojúhelník. To je tvořeno výškou pyramidy a apophema, což je hypotenuse. Druhá noha se rovná polovině strany náměstí, protože výška polyhedronu klesá do středu.

Požadovaný apophema (hypotenze pravoúhlého trojúhelníku) je radic- (3² + 4²) = 5 (cm).

Nyní můžete vypočítat požadovanou hodnotu: frac12 - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (cm²).

Odpovědět. 96 centimetrů².

Úkol č. 4

Stav. Vzhledem k pravidelné hexagonální pyramidě. Strany své základny jsou 22 mm, boční žebra jsou 61 mm. Jaká je plocha bočního povrchu tohoto polyhedronu?

Řešení. Argumenty v něm jsou stejné jako v popisu problému 2. Pouze tam byla dána pyramida se čtvercem ve spodní části a nyní je to šestiúhelník.

Prvním krokem je výpočet plochy základny podle výše uvedeného vzorce: (6 * 22²) / (4 * tg (180ordm- / 6)) = 726 / (tg30ordm-) = 726radic-3 cm².

Nyní je nutné zjistit polovinu obvodu rovnoramenného trojúhelníku, který je postranním obličejem. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 zůstává na vzorci Heron pro výpočet plochy každého trojúhelníku, a pak násobit jej šest krát a ten, který se ukázal základně.

Výpočty pomocí Heronova vzorce: radikál- (72 * (72-22) * (72-61)²) = radic-435600 = 660 cm². Výpočty, které udávají plochu bočního povrchu: 660 * 6 = 3960 cm². Zbývá je přidávat, aby se zjistil celý povrch: 5217,47asymp-5217 cm².

Odpovědět. Pozemky - 726 cm - 3 cm², boční plocha - 3960 cm², celá plocha - 5217 cm².